Microeconomía · Examen de Grado de Economía

Temario oficial · Microeconomía

La parte de Microeconomía del examen de grado cubre los cursos de núcleo de micro, economía laboral y econometría. Se aprueba por separado de Macro, con nota 3,95 o más.

Contenidos mínimos que se pretende medir

"El examen de grado de microeconomía considera básicamente los contenidos de los cursos de núcleo de la carrera, es decir, de Introducción a la Microeconomía, Microeconomía I, Microeconomía II, Asignación de Recursos y Economía del Bienestar, Organización Industrial y los cursos de Economía Laboral. En complemento a lo anterior, los cursos de Econometría I y II son evaluados en este examen."

Modelo del Consumidor: presupuesto, preferencias, función de utilidad (función indirecta de utilidad y sus derivaciones), el problema de elección del consumidor (efecto ingreso, sustitución, descomposición), la demanda y la elasticidad, el excedente del consumidor, la demanda de mercado . Elección bajo incertidumbre, riesgo y sus medidas . Decisiones intertemporales y teoría del capital, evaluación de proyectos y optimización intertemporal, análisis de riesgo y teoría de portfolio .
Modelo del Productor: la función de producción (RTS, producto marginal, isocuantas), retornos a escala y homogeneidad, maximización del beneficio, funciones de demanda, oferta y beneficio, sustitución entre factores, elasticidad de sustitución. Función de costo y sus propiedades, geometría de los costos y oferta de la firma .
Estructura de los mercados: mercado competitivo , el monopolio, monopsonio y el oligopolio, el monopolio y el bienestar, la colusión .
Equilibrio: equilibrio de mercado, equilibrio de Walras, eficiencia paretiana, teoremas de bienestar, el modelo de intercambio y la caja de Edgeworth . Fallas de mercado: externalidades, bienes públicos y bienes de propiedad común , asimetría de información .
Intervenciones: precios máximos, mínimos, ganancias del comercio, impuestos y subsidios, efectos sobre bienestar .
Mercado del Trabajo: oferta de trabajo , capital humano, imperfecciones e instituciones, equilibrio en el mercado del trabajo, determinación de salarios, salarios mínimos .
Introducción a teoría de juegos: interacción estratégica, equilibrio de Nash, estrategias mixtas y puras, dilema del prisionero .
Econometría: regresión con dos y K variables, propiedades de MCO, geometría, bondad de ajuste, inferencia . Máxima verosimilitud, MCG, test de hipótesis, heterocedasticidad, autocorrelación, multicolinealidad . Endogeneidad y ecuaciones simultáneas . Variables cualitativas, variable dependiente limitada, datos de panel .

📄 Fuente: "Documento sobre Examen de Grado de Ingeniería Comercial, mención Economía", sección IV.1, Departamento de Economía FEN (el mismo que publica la Secretaría de Estudios en Examen Final → Temario Licenciatura en Ciencias Económicas).

Cómo es el examen de verdad

El documento oficial describe un formato antiguo de 150 minutos. Desde 2021 el examen real es más corto y siempre tiene la misma forma: 100 minutos en tres secciones.

Sección	Qué es	Tiempo	Cómo se corrige
I · Verdadero y Falso	3 preguntas, cada una con un contexto (un modelo con números o una situación) y 4 afirmaciones	30 min	+1 si aciertas, −1 si te equivocas, 0 si omites
II · Ensayo	Eliges 1 de 2 temas de actualidad chilena, con 3 o 4 puntos que tienes que cubrir	30 min	Máximo 3.000 caracteres (unas 600 palabras); la pauta da puntaje por cada punto
III · Modelo	Eliges 1 de 2: un modelo teórico o un modelo empírico (un paper con su tabla de regresión)	40 min	Desde 2025, 5 a 8 preguntas de alternativas, todas con el mismo puntaje

El −1 cambia la estrategia. En verdadero y falso una respuesta mala borra una buena. Si no tienes idea, omitir vale más que adivinar. Si puedes descartar con un cálculo rápido, responde.

Lo que más se repite en las afirmaciones (2021 a 2026): equilibrio de Walras en una caja de Edgeworth (casi todos los años), Cournot, Bertrand y colusión con estrategia gatillo, monopolio con discriminación, ocio-consumo, competencia perfecta de largo plazo, información asimétrica y una pregunta de econometría aplicada (variable omitida, interacciones, variables instrumentales).

En el modelo empírico siempre es un paper real: reputación universitaria y salarios en Colombia (O2026), topes al gasto electoral en Francia con regresión discontinua (P2026), el crédito tributario EITC (P2025), Acemoglu y los orígenes coloniales (O2025). Lo que preguntan es interpretar coeficientes, el signo del sesgo por variable omitida, significancia (el estadístico t) y qué diseño de identificación usa el paper.

📄 Fuente: exámenes y pautas oficiales del repositorio de la Secretaría de Estudios FEN, 2021 a 2026.

Cómo estudiar esta parte

Haz las cuentas a mano. La mitad de las afirmaciones se resuelven con un cálculo de dos líneas: un equilibrio de Cournot, una demanda Cobb-Douglas, un precio de Walras. Si sabes el atajo, ganas tiempo para las que piden pensar.
Aprende los resultados "de memoria" que se preguntan como trampa: Bertrand con costos iguales da P = CMg, con Cobb-Douglas sin ingreso no laboral las horas no dependen del salario, el Primer Teorema falla con externalidades, la discriminación de primer grado es eficiente.
Para el ensayo, entrena el esqueleto: una idea por punto que pide el enunciado, con el concepto técnico nombrado (externalidad, bien público, selección adversa, incidencia del impuesto) y una consecuencia de política. Mira la pestaña ✍️ Ensayo.
Para el modelo empírico, domina la lectura de una tabla: coeficiente, error estándar, estadístico t, interacción y qué significa en un log.

Teoría del consumidor

Cómo elige una persona qué comprar con un ingreso limitado. Es la base de toda la micro: de acá salen la demanda, la oferta de trabajo y el ahorro.

Preferencias y utilidad

Sirve para representar con una función lo que una persona prefiere y así poder predecir qué va a comprar. Es lo que usan las empresas cuando estiman cuánto cambia la demanda de un producto si cambia el de al lado, y la base de todo el resto de la micro.

Si prefieres 2 cafés y 1 pan antes que 1 café y 2 panes, la utilidad le pone un número más alto a la primera canasta. El número no mide felicidad, solo ordena: cualquier transformación que respete el orden (elevar al cuadrado, sacar logaritmo) describe las mismas preferencias. Una curva de indiferencia junta todas las canastas que te dan lo mismo.

Axiomas: completitud, transitividad y continuidad (para que exista una función de utilidad); monotonía (más es mejor) y convexidad (los promedios se prefieren a los extremos).
Curva de indiferencia: todas las canastas con la misma utilidad. Con preferencias monótonas tienen pendiente negativa y no se cortan. Con preferencias convexas, son convexas al origen.
Tasa marginal de sustitución: cuánto del bien y está dispuesta a entregar la persona por una unidad más de x, manteniendo la utilidad. Con convexidad es decreciente: mientras más x tengo, menos y entrego por otra unidad.

$$TMS_{x,y}=\frac{UMg_x}{UMg_y}=-\left.\frac{dy}{dx}\right|_{U=\bar U}$$

Preferencias	Utilidad	Lo que hay que saber
Cobb-Douglas	$ U=x^{\alpha}y^{\beta} $	Gasta una fracción fija del ingreso en cada bien: $ \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $ en x. La demanda de x no depende de $ p_y $.
Sustitutos perfectos	$ U=ax+by $	TMS constante. Gasta todo en el bien con mayor utilidad marginal por peso ($ a/p_x $ contra $ b/p_y $). Solución de esquina.
Complementos perfectos (Leontief)	$ U=\min\{ax,by\} $	Consume en proporción fija: $ ax=by $. No hay efecto sustitución.
Cuasilineal	$ U=v(x)+y $	La demanda de x no depende del ingreso (si hay solución interior). El excedente del consumidor mide bien el bienestar.

"Rendimientos a escala" no tiene sentido en utilidad: como la utilidad es ordinal, $ x^{1/2}y^{1/2} $ y $ xy $ son las mismas preferencias. El examen lo preguntó tal cual (Primavera 2023, afirmación 3.2: verdadera).

El casoTres compañeros describen los gustos de la misma persona con funciones distintas: $ U=xy $, $ V=\ln x+\ln y $ y $ W=x^2y $. ¿Cuáles representan las mismas preferencias? Compáralas en la canasta (4, 9).

U xy
V ln x + ln y
W x²y
Canasta (4, 9)

¿TMS de U?$ TMS_U=\frac{y}{x}=\frac94=2{,}25 $Entrega 2,25 unidades de y por una más de x.
¿TMS de V?$ TMS_V=\frac{1/x}{1/y}=\frac{y}{x}=2{,}25 $V = ln U es una transformación creciente: mismas preferencias.
¿TMS de W?$ TMS_W=\frac{2xy}{x^2}=\frac{2y}{x}=4{,}5 $Valora x el doble respecto a y: son otras preferencias.
¿Cómo se comprueba rápido?$ W=x^2y\neq f(xy) $Si la TMS cambia en alguna canasta, las preferencias son distintas aunque las funciones se parezcan.

Función	TMS en (4, 9)	¿Mismas preferencias que xy?
xy	2,25	Sí
ln x + ln y	2,25	Sí
(xy)^1/2	2,25	Sí
x²y	4,5	No

Lo que se responde: dos funciones representan las mismas preferencias si una es transformación creciente de la otra, y eso se ve en que tienen la misma TMS en todas las canastas.

El problema del consumidor y la demanda marshalliana

Sirve para obtener cuánto compra la persona de cada bien según precios e ingreso. Es lo que el examen pide calcular en casi todas las preguntas de consumidor, y lo que usa una empresa o el gobierno para anticipar la reacción a un cambio de precio o de impuesto.

Con un ingreso fijo, la persona elige la canasta que más le gusta entre las que puede pagar. En el óptimo, lo que está dispuesta a cambiar de un bien por otro (TMS) es igual a lo que el mercado le cobra por cambiarlo (el precio relativo). Gráficamente, la curva de indiferencia más alta que toca la recta de presupuesto.

$$\max_{x,y}\;U(x,y)\quad\text{s.a.}\quad p_x x+p_y y=I$$

Lagrange $ \mathcal{L}=U(x,y)+\lambda(I-p_xx-p_yy) $

Condición $ TMS=\frac{UMg_x}{UMg_y}=\frac{p_x}{p_y} $

λ utilidad marginal del ingreso

La solución son las demandas marshallianas $ x(p_x,p_y,I) $, $ y(p_x,p_y,I) $. Para Cobb-Douglas:

$$x^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_x}\qquad y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_y}$$

Propiedades: homogéneas de grado 0 en precios e ingreso (si todo se duplica, nada cambia) y cumplen la ley de Walras (se gasta todo el ingreso).
Utilidad indirecta $ V(p,I)=U(x^*,y^*) $: la máxima utilidad alcanzable. Es creciente en I, decreciente en precios y homogénea de grado 0.
Identidad de Roy: permite recuperar la demanda desde la utilidad indirecta.
Soluciones de esquina: con sustitutos perfectos, o si la TMS es siempre mayor que el precio relativo, se gasta todo en un bien y la condición TMS = precio relativo no se cumple con igualdad.

$$x^*(p,I)=-\frac{\partial V/\partial p_x}{\partial V/\partial I}$$

Así lo preguntaron · Primavera 2024, con $ U=X^{\alpha}Y^{\beta} $. "El gasto en X e Y será igual solo si α = β" (V, cada gasto es $ \frac{\alpha}{\alpha+\beta}I $ y $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}I $). "Si sube el precio de Y en 10%, la cantidad demandada de X aumenta en más de 10%" (F, la demanda de X no depende de $ p_Y $). "La relación X/Y será constante cuando aumente el ingreso solo si α = β" (F, con Cobb-Douglas X/Y no depende del ingreso para ningún α y β). "Ambos bienes son normales" (V, la elasticidad ingreso es 1).

El casoUna persona tiene $ U=x^{1/3}y^{2/3} $, ingreso I = 90, $ p_x=3 $ y $ p_y=2 $. ¿Cuánto compra de cada bien y qué pasa si sube $ p_y $ a 4?

Exponentes 1/3 y 2/3
Ingreso 90
Precios 3 y 2

¿Qué fracción gasta en cada bien?$ \frac{1/3}{1/3+2/3}=\frac13 \text{ en } x,\quad \frac23 \text{ en } y $Con Cobb-Douglas la fracción del gasto es el exponente dividido por la suma.
¿Cuánto compra?$ x^*=\frac{90/3}{3}=10,\qquad y^*=\frac{60}{2}=30 $Gasta 30 en x y 60 en y. Comprueba la tangencia: $ TMS=\frac{y}{2x}=\frac{30}{20}=1{,}5=\frac{p_x}{p_y} $.
¿Y si $ p_y $ sube a 4?$ x^*=10,\qquad y^*=\frac{60}{4}=15 $La demanda de x no se mueve: con Cobb-Douglas los bienes no son sustitutos ni complementos brutos.

Canasta antes y después de la subida de p_y

x antes

x después

y antes

y después

Sigue gastando 2/3 del ingreso en y: si su precio se duplica, compra la mitad.

Lo que se responde: si una afirmación dice "sube el precio de y y la demanda de x cambia", con Cobb-Douglas es falsa.

Elasticidades y clasificación de bienes

Sirve para medir cuánto reacciona la cantidad demandada ante precios e ingreso, y para clasificar los bienes. Una empresa la usa para decidir si le conviene subir o bajar el precio, y el gobierno para saber cuánto recauda un impuesto. El examen la pide calcular con dos puntos de una demanda.

La elasticidad responde una pregunta: si el precio sube 1%, ¿en qué porcentaje cae la cantidad? Si cae más de 1%, la demanda es elástica y subir el precio hace que la empresa venda menos plata; si cae menos, es inelástica y el gasto total sube. Con el ingreso pasa lo mismo: si al ganar más compras más, el bien es normal; si compras menos, es inferior.

$$\varepsilon_{x,p_x}=\frac{\partial x}{\partial p_x}\frac{p_x}{x}\qquad \eta_{x,I}=\frac{\partial x}{\partial I}\frac{I}{x}\qquad \varepsilon_{x,p_y}=\frac{\partial x}{\partial p_y}\frac{p_y}{x}$$

Medida	Valor	Nombre
Elasticidad precio	$ \|\varepsilon\|>1 $ / $ <1 $ / $ =1 $	Elástica / inelástica / unitaria
Elasticidad ingreso	$ \eta>1 $ / $ 0<\eta<1 $ / $ \eta<0 $	Lujo / necesidad / inferior
Elasticidad cruzada	$ >0 $ / $ <0 $	Sustitutos / complementos brutos

Ingreso total y elasticidad: si la demanda es elástica, bajar el precio sube el gasto total; si es inelástica, lo baja.
Demanda lineal: la elasticidad cambia a lo largo de la recta. Es elástica en la mitad de arriba, unitaria en el punto medio e inelástica en la mitad de abajo.
Elasticidad con dos puntos: la pauta del examen la calcula con el punto inicial, $ \varepsilon=\frac{\Delta Q/Q_0}{\Delta P/P_0} $. La versión de punto medio ($ \bar Q,\bar P $) da otro número; si la afirmación no dice cuál, usa la del punto inicial.
Bien Giffen: inferior con un efecto ingreso tan fuerte que la demanda sube con el precio. Todo Giffen es inferior; no todo inferior es Giffen.
Agregación de Engel: $ s_x\eta_x+s_y\eta_y=1 $ (con $ s $ la fracción del gasto). No todos los bienes pueden ser inferiores.

El casoOtoño 2025: un teléfono baja de $800 a $700 y las ventas suben de 150 a 200 unidades. Hay que juzgar tres afirmaciones: la demanda es elástica, el ingreso total aumenta al bajar el precio, y la elasticidad es aproximadamente −1,33.

Precio 800 → 700
Cantidad 150 → 200

¿Cuánto cambió cada uno?$ \frac{\Delta Q}{Q_0}=\frac{50}{150}=33{,}3\%\qquad\frac{\Delta P}{P_0}=\frac{-100}{800}=-12{,}5\% $Se calcula con el punto inicial, como en la pauta.
¿Elasticidad?$ \varepsilon=\frac{33{,}3\%}{-12{,}5\%}\approx-2{,}67 $Mayor que 1 en valor absoluto: elástica (V). El −1,33 es F.
¿Qué pasa con el ingreso total?$ 800\cdot150=120.000\;\rightarrow\;700\cdot200=140.000 $Sube, como corresponde a una demanda elástica (V).
¿Y con punto medio?$ \frac{50/175}{-100/750}\approx-2{,}14 $Otro número, pero igual elástica: la conclusión no cambia.

Ingreso total de la empresa

A $800

$120.000

A $700

$140.000

Con demanda elástica, bajar el precio aumenta lo que se vende en plata.

Lo que se responde: V, V y F. Calcula la elasticidad con el punto inicial salvo que la afirmación pida otra cosa, y confirma con el ingreso total.

Demanda de mercado y excedente del consumidor

Sirve para pasar de una persona a todo el mercado y para medir en pesos cuánto gana la gente al comprar. El excedente es lo que después se usa para medir pérdidas de bienestar de impuestos, monopolios o subsidios, y lo que usa el gobierno al evaluar si una política conviene.

Si estabas dispuesto a pagar $10.000 por una entrada y la compraste a $6.000, ganaste $4.000 de excedente. La demanda dice cuánto está dispuesto a pagar cada comprador, así que el excedente de todos es el área entre la demanda y el precio. Si el precio baja, ganan los que ya compraban y los que ahora entran al mercado.

Demanda de mercado: suma horizontal de las demandas individuales (se suman cantidades a cada precio). Puede tener quiebres donde entra un nuevo grupo de compradores.
Excedente del consumidor: área bajo la demanda y sobre el precio. Con demanda lineal es un triángulo.
Cambio de excedente al bajar el precio: un rectángulo (lo que se ahorran los que ya compraban) más un triángulo (los que entran).

$$EC=\int_{p^*}^{\bar p}x(p)\,dp\qquad\text{lineal: }EC=\tfrac12(\bar p-p^*)\,x^*$$

El excedente del consumidor es una medida exacta del bienestar solo cuando no hay efecto ingreso (utilidad cuasilineal). Con efecto ingreso hay que usar la variación compensatoria o la equivalente (pestaña Dualidad).

El casoLa demanda de un servicio de streaming es Q = 100 − P (miles de suscripciones, precio en miles de pesos). La empresa baja el precio de 40 a 30. ¿Cuánto ganan los consumidores?

Demanda Q = 100 − P
Precio 40 → 30

¿Excedente a 40?$ Q=60,\;EC=\tfrac12(100-40)\cdot60=1.800 $El triángulo entre el precio máximo (100) y el precio pagado.
¿Excedente a 30?$ Q=70,\;EC=\tfrac12(100-30)\cdot70=2.450 $Más gente compra y todos pagan menos.
¿De dónde sale la ganancia?$ \Delta EC=\underbrace{60\cdot10}_{600}+\underbrace{\tfrac12\cdot10\cdot10}_{50}=650 $600 de ahorro para los 60 que ya compraban y 50 para los 10 que entran.

Excedente del consumidor

Precio 40

1.800

Precio 30

2.450

Casi toda la ganancia es el rectángulo de los que ya compraban.

Lo que se responde: el cambio de excedente es el área entre los dos precios a la izquierda de la demanda: un rectángulo más un triángulo. Con demanda lineal se calcula sin integrales.

Dualidad, Slutsky y medidas de bienestar

El mismo consumidor visto al revés: en vez de maximizar utilidad con un ingreso, minimiza el gasto para alcanzar una utilidad. De ahí salen la demanda compensada, la descomposición de Slutsky y la forma correcta de medir cuánto pierde alguien cuando sube un precio.

Minimización del gasto y demanda hicksiana

Sirve para separar el efecto de un cambio de precio en dos partes, el cambio de precios relativos y el cambio de poder de compra, y para calcular cuánta plata necesita una persona para mantener su nivel de vida cuando suben los precios. Es la lógica detrás de reajustar sueldos o pensiones por inflación.

Si sube el precio del pan, imagina que el gobierno te devuelve justo la plata necesaria para que quedes igual de contento que antes. Lo que cambias en tu canasta con esa compensación es puro efecto sustitución: compras menos pan porque está relativamente caro, no porque seas más pobre. La demanda que resulta de ese experimento es la hicksiana o compensada.

$$\min_{x,y}\;p_xx+p_yy\quad\text{s.a.}\quad U(x,y)=\bar U$$

h(p,U) demanda hicksiana o compensada

e(p,U) función de gasto: el mínimo gasto para lograr U

Lema de Shephard: $ h_x(p,U)=\frac{\partial e(p,U)}{\partial p_x} $.
Propiedades de la función de gasto: creciente en precios, homogénea de grado 1 en precios y cóncava en precios. La concavidad implica que la demanda hicksiana tiene pendiente negativa siempre: el efecto sustitución propio nunca es positivo.
Dualidad: $ e(p,V(p,I))=I $ y $ V(p,e(p,U))=U $; en el óptimo $ x(p,I)=h(p,V(p,I)) $.
Cobb-Douglas $ U=x^{1/2}y^{1/2} $: $ h_x=U\sqrt{p_y/p_x} $, $ h_y=U\sqrt{p_x/p_y} $ y $ e=2U\sqrt{p_xp_y} $.

El casoUna persona tiene $ U=x^{1/2}y^{1/2} $ y quiere mantener utilidad 50. Los precios parten en $ p_x=p_y=1 $ y luego $ p_x $ sube a 4. ¿Cuánto necesita gastar y qué canasta compra con cada precio?

Utilidad objetivo 50
$ p_x $ 1 → 4
$ p_y $ 1

¿Condición del mínimo gasto?$ \frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y}\;\text{ y }\;\sqrt{xy}=50 $Misma tangencia que al maximizar, pero ahora la utilidad está fija y el gasto es lo que se elige.
¿Canasta con precios 1 y 1?$ h_x=50,\;h_y=50,\;e=100 $Gasta 100.
¿Canasta con $ p_x=4 $?$ h_x=50\sqrt{1/4}=25,\;h_y=50\sqrt4=100,\;e=2\cdot50\cdot2=200 $Sustituye x por y y necesita el doble de plata.
¿Se cumple Shephard?$ \frac{\partial e}{\partial p_x}=U\sqrt{\frac{p_y}{p_x}}=50\cdot\frac12=25=h_x $Derivar el gasto respecto al precio da la cantidad compensada.

Precio de x	h_x	h_y	Gasto mínimo
1	50	50	100
4	25	100	200

Lo que se responde: la demanda hicksiana siempre cae con su propio precio (aquí de 50 a 25), y la función de gasto se obtiene reemplazando h en p·x. Si preguntan cuánta plata hace falta para mantener la utilidad, es e(p, U).

La ecuación de Slutsky

Sirve para responder la pregunta favorita de los verdadero y falso: ¿qué pasa con la cantidad demandada cuando sube un precio, y por qué? Descompone el efecto total en sustitución e ingreso, y explica por qué un alza del pan pega más a quien gasta mucho en pan.

Cuando sube el precio de algo pasan dos cosas a la vez: ese bien queda más caro respecto a los otros (efecto sustitución, siempre te aleja de él) y tu sueldo alcanza para menos (efecto ingreso, te hace comprar menos si el bien es normal y más si es inferior). El cambio total es la suma de los dos.

$$\underbrace{\frac{\partial x}{\partial p_x}}_{\text{total}}=\underbrace{\frac{\partial h_x}{\partial p_x}}_{\text{sustitución}\;\le 0}-\underbrace{x\,\frac{\partial x}{\partial I}}_{\text{ingreso}}$$

Bien	Efecto sustitución	Efecto ingreso	Total
Normal	−	− (refuerza)	− (ley de la demanda)
Inferior, no Giffen	−	+ (compensa en parte)	−
Giffen	−	+ y más grande	+

Cuando el consumidor es vendedor del bien (dueño de una dotación, como el tiempo en ocio-consumo), el efecto ingreso cambia de signo: subir el precio lo hace más rico. Por eso con el salario las horas trabajadas pueden subir, bajar o quedarse igual (pestaña Ocio-consumo).

Cómo responder un verdadero o falso de Slutsky. Si la afirmación dice "siempre baja", piensa en el bien inferior y en el caso en que el consumidor es vendedor neto. Si menciona "compensada" o "a utilidad constante", habla solo del efecto sustitución, que tiene signo seguro (no positivo).

El casoCon $ U=x^{1/2}y^{1/2} $, ingreso 100 y $ p_y=1 $, el precio de x sube de 1 a 4. Descompón la caída en la demanda de x en efecto sustitución y efecto ingreso.

Ingreso 100
$ p_x $ 1 → 4
$ p_y $ 1

¿Canasta inicial?$ x_A=\frac{100}{2\cdot1}=50,\;y_A=50,\;U^0=50 $Gasta la mitad en cada bien.
¿Canasta final?$ x_C=\frac{100}{2\cdot4}=12{,}5,\;y_C=50 $Efecto total: −37,5.
¿Canasta compensada?$ x_B=h_x(4,1,50)=25 $Con los precios nuevos y la utilidad de antes: el punto B del gráfico.
¿Cuánto es cada efecto?$ ES=25-50=-25\qquad EI=12{,}5-25=-12{,}5 $Los dos van en la misma dirección porque x es normal.

Cómo se reparte la caída de x (−37,5)

Sustitución

−25

Ingreso

−12,5

Total

−37,5

Dos tercios de la caída se explican porque x quedó caro respecto a y.

Lo que se responde: ES = h(p¹, U⁰) − x(p⁰, I) y EI = x(p¹, I) − h(p¹, U⁰). Con bienes normales suman en la misma dirección; si x fuera inferior, el efecto ingreso iría al revés.

Variación compensatoria, equivalente y excedente

Sirve para poner en pesos cuánto pierde una persona cuando sube un precio, o cuánto gana cuando baja. Es la base del análisis de bienestar de impuestos, aranceles y subsidios, y de la decisión entre dar un subsidio al precio o una transferencia en dinero.

Hay dos maneras de medir cuánto te dolió un alza. La compensatoria pregunta cuánta plata hay que darte después del alza para que quedes como antes. La equivalente pregunta cuánta plata habría que quitarte sin el alza para dejarte tan mal como quedaste. El excedente del consumidor es una aproximación que queda entre las dos.

$$VC=e(p^1,U^0)-e(p^0,U^0)\qquad VE=e(p^1,U^1)-e(p^0,U^1)$$

VC cuánto hay que darle después del cambio para que vuelva a su utilidad inicial

VE cuánto habría que quitarle antes del cambio para dejarlo con la utilidad final

Para un alza de precio de un bien normal: $ VE \le \Delta EC \le VC $ (en valor absoluto). El excedente del consumidor queda entre las dos.
Si no hay efecto ingreso (utilidad cuasilineal) las tres medidas coinciden.
Subsidio en especie o transferencia en dinero: una transferencia en dinero de igual costo fiscal deja al consumidor igual o mejor que el subsidio al precio, porque no distorsiona los precios relativos. El subsidio en especie solo es equivalente si la persona igual habría consumido esa cantidad.

El casoCon $ U=x^{1/2}y^{1/2} $, ingreso 100 y $ p_y=1 $, el precio de x sube de 1 a 4. ¿Cuánto pierde la persona según cada medida?

Ingreso 100
$ p_x $: 1 → 4
Utilidad Cobb-Douglas ½, ½
Gasto $ e=2U\sqrt{p_xp_y} $

¿Utilidad antes y después?$ U^0=\sqrt{50\cdot50}=50\qquad U^1=\sqrt{12{,}5\cdot50}=25 $El alza la deja con la mitad de utilidad.
¿Variación compensatoria?$ VC=e(4,1,50)-100=200-100=100 $Hay que darle 100 para que vuelva a 50.
¿Variación equivalente?$ VE=100-e(1,1,25)=100-50=50 $Quitarle 50 sin el alza la dejaría tan mal como el alza.
¿Cambio de excedente?$ \Delta EC=\int_1^4\frac{50}{p}\,dp=50\ln4\approx69{,}3 $Área bajo la demanda marshalliana entre los dos precios.

La pérdida medida de tres formas

100

ΔEC

69,3

Con un bien normal, el excedente queda entre la equivalente y la compensatoria.

Lo que se responde: VE ≤ ΔEC ≤ VC para un alza de precio de un bien normal. Si te dicen que las tres coinciden, solo es cierto sin efecto ingreso.

Ocio-consumo y oferta de trabajo

La persona "compra" ocio renunciando a salario. Es el consumidor de siempre, con una diferencia que el examen pregunta casi todos los años: aquí la persona es dueña de la dotación (su tiempo), así que un alza del salario la hace más rica.

El problema y la oferta laboral

Sirve para obtener cuántas horas quiere trabajar una persona según el salario y su ingreso no laboral, y para analizar bonos, impuestos y subsidios al empleo. Es el modelo detrás de cada discusión sobre si un beneficio social desincentiva el trabajo.

Tienes 24 horas y las repartes entre trabajar y descansar. Cada hora de descanso te cuesta el salario que dejas de ganar, así que el salario es el precio del ocio. Con lo que ganas, más lo que recibes sin trabajar, compras consumo. Eliges las horas donde lo que valoras una hora libre iguala lo que te pagarían por trabajarla.

$$\max_{c,\ell}\;U(c,\ell)\quad\text{s.a.}\quad pc+w\ell=wT+Y_{NL}$$

ℓ horas de ocio; horas trabajadas $ h=T-\ell $

w salario por hora: el precio del ocio

wT+Y_NL ingreso total o "completo"

Con Cobb-Douglas $ U=c^{\alpha}\ell^{\beta} $ la persona gasta en ocio la fracción $ \frac{\beta}{\alpha+\beta} $ de su ingreso completo:

$$\ell^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\cdot\frac{wT+Y_{NL}}{w}\qquad h^*=T-\ell^*=\frac{\alpha wT-\beta Y_{NL}}{(\alpha+\beta)w}$$

Sin ingreso no laboral ($ Y_{NL}=0 $): $ h^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}T $, las horas no dependen del salario. El efecto sustitución y el ingreso se cancelan exactos.
Con ingreso no laboral: las horas suben con el salario y bajan con $ Y_{NL} $. Un bono de suma fija reduce la oferta de trabajo.
La recta de presupuesto tiene un quiebre en ℓ = T: aunque no trabaje, la persona consume su ingreso no laboral.

El casoOtoño 2021: una persona tiene $ U=c^{1/2}\ell^{1/2} $, T = 20 horas, salario w = 25 e ingreso no laboral de 200 (precio del consumo 1). ¿Cuántas horas trabaja y cuánto consume?

T 20
w 25
$ Y_{NL} $ 200
α = β ½

¿Ingreso completo?$ wT+Y_{NL}=25\cdot20+200=700 $Lo que tendría si vendiera todas sus horas.
¿Ocio?$ \ell^*=\frac12\cdot\frac{700}{25}=14 $Gasta la mitad del ingreso completo en ocio, que vale 25 la hora.
¿Horas y consumo?$ h^*=20-14=6,\qquad c^*=25\cdot6+200=350 $El consumo también es la mitad del ingreso completo.
¿Y si el salario se duplica a 50?$ \ell^*=\frac12\cdot\frac{1.200}{50}=12,\;h^*=8 $Trabaja 8, no 12: "trabaja el doble" es F.

Salario	Ocio	Horas	Consumo
15	16,7	3,3	250
25	14	6	350
50	12	8	600
100	11	9	1.100

Lo que se responde: con ingreso no laboral las horas suben con el salario, pero menos que proporcionalmente. Sin ingreso no laboral, con Cobb-Douglas serían siempre T/2.

Salario de reserva

Sirve para saber desde qué salario la persona entra al mercado laboral. Bajo ese salario prefiere no trabajar. Explica por qué parte de la gente en edad de trabajar no busca empleo aunque haya vacantes.

Si tienes una mesada alta, nadie te convence de trabajar por poco. El salario de reserva es el mínimo que hace que la primera hora de trabajo valga más que la primera hora de ocio. Mientras más ingreso tengas sin trabajar, más alto es.

$$w_R=TMS_{\ell,c}\Big|_{\ell=T,\;c=Y_{NL}/p}\qquad\text{Cobb-Douglas: }w_R=\frac{\beta Y_{NL}}{\alpha T}$$

Se obtiene evaluando la TMS en el quiebre (sin trabajar) o despejando el w que hace $ h^*=0 $.
Es proporcional al ingreso no laboral: si $ Y_{NL} $ se duplica, $ w_R $ se duplica.
Sin ingreso no laboral y con Cobb-Douglas, $ w_R=0 $: cualquier salario positivo hace trabajar.

Así lo preguntaron · Otoño 2021. Con $ w=25 $, $ Y_{NL}=200 $, Cobb-Douglas y T = 20: "el salario de reserva es 10" (V, sale de igualar $ h^*=0 $); "si el ingreso no laboral se duplica, el salario de reserva se duplica" (V, $ w_R $ es proporcional a $ Y_{NL} $); "si el salario se duplica, la persona trabaja el doble" (F, las horas no son proporcionales a w cuando hay ingreso no laboral).

El casoTres hermanos tienen las mismas preferencias $ U=c^{1/2}\ell^{1/2} $ y T = 20 horas, pero distinta mesada: 0, 200 y 400. ¿Desde qué salario acepta trabajar cada uno?

α = β ½
T 20
Mesadas 0, 200 y 400

¿Qué condición define el salario de reserva?$ h^*=0\iff \alpha wT=\beta Y_{NL} $El salario al que la primera hora de trabajo justo empata con el ocio.
¿Fórmula con α = β?$ w_R=\frac{Y_{NL}}{T} $El ingreso no laboral repartido por hora.
¿Para cada hermano?$ w_R=0,\;10,\;20 $Con un salario de mercado de 15, solo los dos primeros trabajan.

Salario de reserva según la mesada

Mesada 0

Mesada 200

Mesada 400

Duplicar el ingreso no laboral duplica el salario de reserva.

Lo que se responde: w_R = βY_NL/(αT). Si el salario de mercado está bajo w_R, la persona no trabaja (solución de esquina en ℓ = T).

Efecto sustitución e ingreso con el salario

Sirve para predecir qué pasa con las horas cuando sube el salario, y por qué subir sueldos no garantiza más horas trabajadas. Es la trampa más frecuente del tema.

Si te suben el sueldo por hora, descansar se vuelve más caro y te dan ganas de trabajar más (sustitución). Pero también eres más rico y puedes darte el lujo de descansar más (ingreso). Como aquí tú vendes tu tiempo, el efecto ingreso empuja a trabajar menos. Cuál gana depende de la persona.

Si domina la sustitución, la oferta laboral tiene pendiente positiva. Si domina el ingreso, se "dobla hacia atrás" (a salarios altos, más salario significa menos horas).
El efecto ingreso aquí tiene el signo contrario al del consumidor normal, porque la persona vende su tiempo: subir el salario la hace más rica.
Con Cobb-Douglas y sin ingreso no laboral, los dos efectos se cancelan exactos y las horas no cambian.

Así lo preguntaron · Primavera 2026. Con $ U=\ln c+\ln \ell $, T = 24 y sin ingreso no laboral: "el efecto sustitución de un alza de w reduce el ocio" (V); "si el ocio es normal, el efecto ingreso eleva el ocio" (V); "la oferta laboral aumenta con w" (F: $ \ell=12 $ y $ h=12 $ para todo w); "si el ocio es normal, un alza de w reduce siempre las horas" (F: el neto es ambiguo).

El casoPrimavera 2026: $ U=\ln c+\ln\ell $, T = 24, sin ingreso no laboral. El salario sube de 10 a 20. Descompón el cambio en el ocio.

T 24
w 10 → 20
$ Y_{NL} $ 0

¿Ocio antes y después?$ \ell=\frac12\cdot\frac{wT}{w}=12\;\text{ con ambos salarios} $Efecto total: cero.
¿Utilidad inicial?$ c=120,\;\ell=12\Rightarrow c\ell=1.440 $La curva de indiferencia que hay que mantener.
¿Ocio compensado con w = 20?$ c=20\ell\;\text{ y }\;c\ell=1.440\Rightarrow\ell=\sqrt{72}\approx8{,}49 $Tangencia con el salario nuevo sobre la utilidad vieja.
¿Cada efecto?$ ES=8{,}49-12=-3{,}51\qquad EI=12-8{,}49=+3{,}51 $El ocio baja por sustitución y sube lo mismo por ingreso.

Cambio en las horas de ocio

Sustitución

−3,51

Ingreso

+3,51

Total

Se cancelan: las horas trabajadas siguen en 12.

Lo que se responde: el efecto sustitución siempre reduce el ocio; el ingreso lo aumenta si el ocio es normal. El total es ambiguo, y con logaritmos sin ingreso no laboral es exactamente cero.

Políticas laborales: bonos, impuestos y subsidios al empleo

Sirve para anticipar cómo cambia la oferta de trabajo con un bono, un impuesto, un subsidio al empleo o una reducción de jornada. Son políticas que Chile discute siempre (Ley de 40 horas, subsidio al empleo joven, pensión garantizada) y que el examen pregunta en modelos y ensayos.

Cada política toca la decisión por un lado distinto. Un bono fijo te hace más rico sin cambiar el pago por hora: solo efecto ingreso, trabajas menos. Un impuesto o subsidio al salario cambia el pago por hora: aparecen los dos efectos. Un subsidio que solo recibe quien trabaja empuja sobre todo a entrar al mercado.

Bono o transferencia de suma fija: solo efecto ingreso, reduce las horas (ocio normal). Desplaza la oferta de trabajo a la izquierda y, con demanda de trabajo dada, sube el salario de equilibrio (Otoño 2023, Modelo 1).
Impuesto al salario: baja el salario neto; efecto sustitución reduce horas, efecto ingreso las aumenta. Ambiguo.
Subsidio al empleo o crédito tributario (EITC): aumenta el salario neto de quien trabaja y no paga nada a quien no trabaja, así que empuja a entrar al mercado laboral (margen extensivo). Es el paper del Modelo Empírico de Primavera 2025.
Reducción de jornada (40 horas): limita las horas máximas; para quien quería trabajar más es una restricción que baja su bienestar, y sube el costo por hora para la empresa (ensayo Otoño 2024).

El casoVuelve a la persona de Otoño 2021 ($ U=c^{1/2}\ell^{1/2} $, T = 20, w = 25, $ Y_{NL}=200 $), que trabaja 6 horas. El gobierno evalúa dos políticas de igual costo inicial: un bono fijo de 100 o un subsidio de 20% al salario.

Horas iniciales 6
Bono 100
Subsidio 20% al salario

¿Horas con el bono?$ \ell=\frac12\cdot\frac{500+300}{25}=16\Rightarrow h=4 $Solo efecto ingreso: trabaja 2 horas menos.
¿Horas con el subsidio?$ w=30:\;\ell=\frac12\cdot\frac{600+200}{30}=13{,}3\Rightarrow h=6{,}7 $Con ingreso no laboral domina la sustitución: trabaja más.
¿Cuánto cuesta el subsidio?$ 5\cdot6{,}7\approx33 $Paga 5 por hora trabajada: un tercio del bono, y además sube el empleo.

Horas trabajadas con cada política

Bono fijo

Sin política

Subsidio 20%

6,7

El bono reduce horas; el subsidio al salario las aumenta.

Lo que se responde: una transferencia fija reduce la oferta de trabajo si el ocio es normal. Un subsidio ligado a trabajar cambia el precio del ocio y puede aumentarla, sobre todo en quien no trabajaba.

Elección intertemporal y evaluación de proyectos

El consumidor que decide entre consumir hoy o mañana. El mismo modelo explica el ahorro, la deuda, el valor de acceder al mercado financiero y por qué un proyecto se evalúa con el VAN.

El modelo de dos períodos

Sirve para decidir cuánto ahorra o se endeuda una persona y cómo cambia esa decisión con la tasa de interés. Explica por qué un estudiante pide un crédito aunque gane poco hoy, y por qué la gente ahorra para la vejez.

Tienes plata hoy y vas a tener plata mañana, pero no tienes por qué gastarla en el mismo orden en que te llega: el banco te deja mover consumo entre períodos al precio de la tasa de interés. Si prefieres un consumo parejo, pides prestado cuando ganas poco y ahorras cuando ganas mucho.

$$\max\;u(c_0)+\beta\,u(c_1)\quad\text{s.a.}\quad c_0+\frac{c_1}{1+r}=Y_0+\frac{Y_1}{1+r}$$

β factor de descuento (impaciencia): $ \beta=\frac{1}{1+\rho} $

r tasa de interés de mercado

1+r precio relativo del consumo de hoy en unidades de mañana

La condición de óptimo es la ecuación de Euler:

$$u'(c_0)=\beta(1+r)\,u'(c_1)$$

Si $ \beta(1+r)=1 $ (la tasa de mercado igual a la impaciencia), la persona suaviza perfecto: $ c_0=c_1 $.
Con $ u=\ln c $: $ c_1=\beta(1+r)c_0 $ y $ c_0=\frac{1}{1+\beta}\left(Y_0+\frac{Y_1}{1+r}\right) $.
Ahorra si $ c_0Y_0 $. Eso depende de los ingresos, de β y de r, no solo de si $ Y_0 $ es mayor o menor que $ Y_1 $.
Acceso al mercado financiero: nunca empeora a la persona, porque consumir la dotación sigue siendo posible.

Así lo preguntaron · Primavera 2023. Con $ u=\ln c_0+\beta\ln c_1 $, $ Y_1=1 $: "sin mercado financiero la utilidad indirecta es $ \ln Y_0 $" (V, porque $ \beta\ln 1=0 $); "con mercado financiero la utilidad es mayor o igual" (V, el caso sin mercado es una opción disponible); "si $ Y_0<1 $ se endeuda necesariamente" (F, depende también de β y r); "la restricción es $ (1+r)c_0+c_1=(1+r)Y_0+Y_1 $" (V, es la misma en valor futuro).

El casoUna estudiante en su último año gana 60 hoy y espera ganar 88 el próximo año. Tiene $ u=\ln c_0+\ln c_1 $ (β = 1) y el banco presta y paga 10%. ¿Ahorra o se endeuda, y cuánto gana con tener acceso al crédito?

$ Y_0 $ 60
$ Y_1 $ 88
r 10%
β 1

¿Riqueza en valor presente?$ W=60+\frac{88}{1{,}1}=60+80=140 $Todo lo que puede consumir, medido en pesos de hoy.
¿Consumo de hoy?$ c_0=\frac{140}{1+1}=70 $Con logaritmos y β = 1 gasta la mitad de la riqueza hoy.
¿Consumo de mañana?$ c_1=\beta(1+r)c_0=1{,}1\cdot70=77 $Ecuación de Euler. Comprueba: paga 11 de deuda con intereses y le quedan 77.
¿Vale la pena el crédito?$ \ln70+\ln77=8{,}593\;>\;\ln60+\ln88=8{,}571 $Pide 10 prestados y queda mejor que consumiendo su dotación.

Opción	c₀	c₁	Utilidad
Sin mercado financiero	60	88	8,571
Con crédito al 10%	70	77	8,593

Lo que se responde: se endeuda porque su consumo óptimo de hoy (70) supera su ingreso de hoy (60). El acceso al mercado financiero nunca baja la utilidad.

¿Qué pasa si sube la tasa de interés?

Sirve para la afirmación clásica "si sube r, la gente ahorra más", y para entender por qué una subida de tasas del Banco Central frena el consumo. La respuesta correcta es "depende de si es ahorrador o deudor".

Una tasa más alta hace más caro consumir hoy, porque cada peso gastado deja de rendir más (sustitución: consumes menos hoy). Pero también cambia tu riqueza: al que ahorra le pagan más intereses y se siente más rico; al que debe le cobran más y se siente más pobre. Para el deudor los dos efectos van juntos; para el ahorrador chocan.

Efecto	Ahorrador (acreedor)	Deudor
Sustitución (el consumo de hoy se encarece)	baja $ c_0 $	baja $ c_0 $
Ingreso (los intereses le pagan o le cobran más)	sube $ c_0 $	baja $ c_0 $
Total sobre $ c_0 $	ambiguo	baja

Con utilidad logarítmica e ingreso solo en el primer período, ambos efectos se cancelan y $ c_0 $ no depende de r. Igual que en ocio-consumo, es el caso que el examen usa para que la afirmación "siempre ahorra más" sea falsa.

El casoLa tasa sube de 10% a 20%. Compara a la estudiante del concepto anterior (gana 60 hoy y 88 mañana) con un jubilado que tiene 140 hoy y nada mañana. Ambos con $ u=\ln c_0+\ln c_1 $.

r 10% → 20%
Estudiante 60 y 88
Jubilado 140 y 0

¿Riqueza de la estudiante con 20%?$ W=60+\frac{88}{1{,}2}=133{,}3 $Su ingreso futuro vale menos hoy: es deudora y se empobrece.
¿Su consumo de hoy?$ c_0=\frac{133{,}3}{2}=66{,}7\;\;(\text{antes }70) $Sustitución e ingreso apuntan igual: consume menos hoy.
¿Y el jubilado?$ W=140\;\Rightarrow\;c_0=70 \text{ con ambas tasas} $Su riqueza no depende de r: los efectos se cancelan y ahorra lo mismo.
¿Su consumo de mañana?$ c_1=1{,}2\cdot70=84\;\;(\text{antes }77) $Ahorra lo mismo, pero sus intereses rinden más.

Consumo de hoy antes y después del alza

Estudiante 10%

Estudiante 20%

66,7

Jubilado 10%

Jubilado 20%

El deudor recorta; el ahorrador con logaritmos no se mueve.

Lo que se responde: un alza de r baja el consumo presente del deudor siempre. Para el ahorrador es ambiguo, y "siempre ahorra más" es falso.

Separación de Fisher y evaluación de proyectos

Sirve para justificar por qué una empresa o persona debe hacer todo proyecto con VAN positivo sin mirar sus preferencias de consumo: con mercado de capitales primero se maximiza la riqueza y después se reparte el consumo en el tiempo. Es la base de cómo deciden inversiones las empresas con muchos dueños distintos.

Si puedes pedir prestado y prestar a la misma tasa, da lo mismo si eres paciente o impaciente: primero haces todos los proyectos que crean riqueza y después usas el banco para consumir cuando quieras. Por eso los accionistas de una empresa, aunque tengan gustos distintos, están todos de acuerdo con la regla del VAN.

$$VAN=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{F_t}{(1+r)^t}$$

La tasa de descuento correcta es el costo de oportunidad de los fondos con el riesgo del proyecto, no la tasa más baja disponible.
Un VAN igual a 1 peso ya crea riqueza: el proyecto se hace aunque "rente poco", porque el retorno exigido ya está en la tasa (Otoño 2014, pregunta 1).
Riesgo y portafolio: la parte del riesgo que se diversifica no se paga; solo el riesgo sistemático exige prima.
Si no hay mercado de capitales, o la tasa de crédito es mayor que la de ahorro, la separación falla y la decisión de inversión sí depende de las preferencias.

El casoUn emprendedor muy impaciente puede invertir 100 hoy en una máquina que le devuelve 60 en cada uno de los próximos dos años. La tasa del banco es 10%. Él dice que no le conviene porque quiere consumir ahora. ¿Tiene razón?

Inversión 100
Flujos 60 y 60
r 10%

¿Valor presente de los flujos?$ \frac{60}{1{,}1}+\frac{60}{1{,}21}=54{,}55+49{,}59=104{,}13 $Lo que valen hoy los pagos futuros.
¿VAN?$ VAN=-100+104{,}13=4{,}13>0 $El proyecto aumenta su riqueza en 4,13.
¿Cómo consume hoy igual?$ \text{pide prestado }104{,}13\text{ contra los flujos} $Con ese crédito paga la máquina y le sobran 4,13 para gastar hoy; los 60 de cada año pagan la deuda.

Lo que puede consumir hoy

Con proyecto y crédito

+4,13

Sin proyecto

El proyecto con VAN positivo le da más incluso al impaciente.

Lo que se responde: con mercado de capitales perfecto, la decisión de inversión (VAN mayor que 0) se separa de la de consumo. El impaciente también gana haciendo el proyecto y endeudándose.

Incertidumbre, riesgo y seguros

Cómo elige alguien cuando el resultado no es seguro. Explica por qué existen los seguros, por qué lo riesgoso tiene que prometer más y prepara el terreno para información asimétrica.

Utilidad esperada (von Neumann-Morgenstern)

Sirve para comparar loterías: situaciones con varios resultados posibles y sus probabilidades, como elegir entre un sueldo fijo y uno variable, invertir en una acción o comprar un seguro. La persona no mira el valor esperado de la plata sino la utilidad esperada.

Antes de una decisión riesgosa, imagina cada resultado posible, ponle cuánto te gustaría (su utilidad) y pondéralo por su probabilidad. Eliges la opción con mayor promedio de utilidad, no de plata. Por eso alguien puede preferir 36 seguros a una moneda que paga 100 o nada, aunque la moneda dé 50 en promedio.

$$EU=\sum_i \pi_i\,u(W_i)$$

πᵢ probabilidad del estado i

u(·) utilidad de Bernoulli de la riqueza

Axiomas: además de completitud y transitividad, continuidad e independencia (mezclar dos loterías con una tercera no cambia el orden entre ellas).
Valor esperado $ E[W]=\sum\pi_iW_i $: solo le importa a quien es neutral al riesgo.

A diferencia de la utilidad del consumidor, la utilidad vN-M es cardinal hasta transformaciones afines ($ a+bu $, $ b>0 $). Elevarla al cuadrado sí cambia las decisiones.

El casoUna persona con $ u=\sqrt{W} $ debe elegir entre un sueldo fijo de 36 y uno variable que paga 100 o 0 con igual probabilidad. ¿Qué elige, y qué elegiría alguien neutral al riesgo?

Fijo 36
Variable 100 o 0, ½ cada uno
Utilidad √W

¿Valor esperado de cada uno?$ E[\text{fijo}]=36\qquad E[\text{variable}]=\tfrac12\cdot100+\tfrac12\cdot0=50 $En plata promedio gana el variable.
¿Utilidad esperada?$ EU_{\text{fijo}}=\sqrt{36}=6\qquad EU_{\text{var}}=\tfrac12\sqrt{100}+\tfrac12\sqrt0=5 $En utilidad gana el fijo.
¿Qué elige cada uno?$ \sqrt W:\;6>5\Rightarrow\text{fijo}\qquad u=W:\;50>36\Rightarrow\text{variable} $La forma de u decide.

Opción	Valor esperado	Utilidad esperada (√W)
Sueldo fijo	36	6
Sueldo variable	50	5

Lo que se responde: con riesgo se compara la utilidad esperada, no la plata esperada. Si la afirmación dice "elige siempre la de mayor valor esperado", solo es cierta para alguien neutral al riesgo.

Aversión al riesgo, equivalente cierto y prima

Sirve para medir cuánto está dispuesta a pagar una persona por sacarse el riesgo de encima. Es lo que explica que existan los seguros, que los depósitos a plazo rindan menos que las acciones y que los bonos riesgosos paguen más.

Te ofrecen lanzar una moneda: cara ganas 100, sello ganas 0. En promedio son 50, pero si prefieres 40 seguros antes que la moneda, eres averso al riesgo. Esos 40 son tu equivalente cierto, y los 10 de diferencia son la prima que pagarías por no jugar. Mientras más curva sea tu utilidad, más grande la prima.

Actitud	Forma de u	Condición
Averso	cóncava ($ u''<0 $)	$ u(E[W])>E[u(W)] $
Neutral	lineal	$ u(E[W])=E[u(W)] $
Amante	convexa	$ u(E[W])<E[u(W)] $

$$u(EC)=E[u(W)]\qquad \text{Prima}=E[W]-EC\qquad r_A=-\frac{u''(W)}{u'(W)}\qquad r_R=-\frac{u''(W)W}{u'(W)}$$

Aversión absoluta $ r_A $: cuánto riesgo en pesos tolera. Si es decreciente en W, los ricos asumen más riesgo en pesos.
Aversión relativa $ r_R $: constante con utilidad CRRA ($ u=\frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma} $, o $ \ln W $ con $ \gamma=1 $).
Con $ u=\sqrt W $: $ r_A=\frac{1}{2W} $ (decreciente) y $ r_R=\frac12 $ (constante).

El casoUn agricultor con $ u=\sqrt{W} $ obtendrá 100 si llueve y 36 si hay sequía, con igual probabilidad. ¿Cuánto vale para él su cosecha incierta y cuánto pagaría por asegurar un ingreso fijo?

Buen año 100
Mal año 36
Probabilidades ½ y ½

¿Valor esperado?$ E[W]=\tfrac12\cdot100+\tfrac12\cdot36=68 $El promedio de plata.
¿Utilidad esperada?$ EU=\tfrac12\cdot10+\tfrac12\cdot6=8 $El promedio de utilidad.
¿Equivalente cierto?$ \sqrt{EC}=8\Rightarrow EC=64 $Un ingreso fijo de 64 lo deja igual de bien que la cosecha incierta.
¿Prima por riesgo?$ 68-64=4 $Renunciaría a 4 del promedio por no depender de la lluvia.

Lo que vale la cosecha para el agricultor

Valor esperado

Equivalente cierto

Prima por riesgo

La prima crece si los resultados se alejan más entre sí.

Lo que se responde: EC sale de u(EC) = E[u(W)] y la prima es E[W] − EC. Un averso al riesgo siempre tiene prima positiva; uno neutral, cero.

Seguros

Sirve para predecir cuánto se asegura una persona y cuánto puede cobrar una aseguradora. Es la base de los ejercicios de seguros de salud (isapres, Fonasa) que el examen combina con selección adversa y riesgo moral.

Un seguro cambia un futuro incierto por uno seguro a cambio de una prima. Si la prima es justa (igual a la pérdida esperada), a quien le desagrada el riesgo le conviene asegurarse entero: queda con lo mismo pase lo que pase. Si la prima es más cara, se asegura menos o no se asegura.

Prima actuarialmente justa: la prima por peso asegurado igual a la probabilidad de siniestro ($ q=\pi $). La aseguradora tiene beneficio esperado cero.
Resultado clave: con prima justa, una persona aversa al riesgo se asegura completo y su riqueza queda igual en ambos estados.
Con prima mayor a la justa (recargo), se asegura parcialmente.
Prima máxima que acepta: la que la deja indiferente con no asegurarse, $ W_0-EC $.
Riesgo moral: con seguro completo cae el esfuerzo por evitar el siniestro, por eso existen deducibles y copagos.

El casoUna persona con $ u=\sqrt{W} $ tiene un auto de 100 que se le roban con probabilidad 0,25 (queda con 0). ¿Cuánto pagaría como máximo por un seguro completo, y cuánto le cobraría una aseguradora que no quiere perder plata?

Riqueza 100 o 0
Probabilidad de robo 0,25
Utilidad $ \sqrt{W} $

¿Utilidad esperada sin seguro?$ EU=0{,}75\sqrt{100}+0{,}25\sqrt{0}=7{,}5 $Esa es la satisfacción de quedarse con el riesgo.
¿Equivalente cierto?$ \sqrt{EC}=7{,}5\Rightarrow EC=56{,}25 $Una riqueza segura de 56,25 la deja igual.
¿Prima máxima?$ 100-56{,}25=43{,}75 $Hasta ahí prefiere asegurarse.
¿Prima justa?$ 0{,}25\cdot100=25\;\Rightarrow\;W=75,\;u=8{,}66>7{,}5 $El valor esperado de la pérdida: la aseguradora no gana ni pierde.

Utilidad de la persona

Seguro a 25

8,66

Seguro a 43,75

7,5

Sin seguro

7,5

A 43,75 le da lo mismo asegurarse: es su prima máxima.

Lo que se responde: entre 25 y 43,75 hay espacio para que la aseguradora gane y la persona igual quiera asegurarse. Ese espacio es la prima por riesgo.

Subastas

Sirve para diseñar y jugar subastas, como las licitaciones de espectro 5G, de concesiones de autopistas o de energía para clientes regulados en Chile. El examen ya preguntó qué estrategia conviene en cada formato y la maldición del ganador.

En una subasta de segundo precio, el que gana paga la oferta del segundo, así que mentir sobre lo que vale el objeto no te ayuda: ofrece tu valor verdadero. En una de primer precio pagas lo que ofreciste, entonces conviene ofrecer algo menos. Y si el objeto vale lo mismo para todos pero nadie sabe cuánto, gana el que más se equivocó hacia arriba.

Subasta inglesa o de segundo precio (Vickrey) con valoraciones privadas: ofrecer la valoración verdadera es estrategia dominante.
Primer precio: conviene ofrecer menos que la valoración. Con n oferentes y valores uniformes, se ofrece $ \frac{n-1}{n}v $.
Equivalencia de ingresos: con valoraciones privadas independientes y jugadores neutrales al riesgo, los formatos estándar dan el mismo ingreso esperado.
Valor común y maldición del ganador: cuando el bien vale lo mismo para todos pero nadie sabe cuánto (un yacimiento, una concesión), cada oferente lo estima con error. Gana quien más lo sobrestimó, así que el ganador tiende a pagar más de lo que vale. La forma de evitarlo es ofrecer menos que la propia estimación.

Así lo preguntaron · Primavera 2025. "Si las empresas participan en una subasta inglesa o de segundo precio donde todas las empresas tienen la misma valoración de lo subastado, entonces ocurrirá la maldición del ganador" fue verdadera. La pauta lo explica por la asimetría de información sobre el valor real: los oferentes lo sobrestiman y el ganador termina pagando más de lo que vale.

El casoTres empresas pujan por una concesión. En el caso A cada una tiene su propio valor (100, 80 y 60). En el caso B la concesión vale 50 para todas, pero sus estudios la estiman en 70, 55 y 40.

Valores privados 100, 80, 60
Valor común real 50
Estimaciones 70, 55, 40

¿Segundo precio con valores privados?$ \text{ofertas }100,80,60\Rightarrow\text{gana A y paga }80 $Ofrecer el valor verdadero es dominante.
¿Subasta inglesa?$ \text{el precio sube hasta }80 $Mismo resultado: el segundo se retira en 80.
¿Valor común, si cada una ofrece su estimación?$ \text{gana la de }70\text{, paga }55\text{ (segundo precio)} $La concesión vale 50: pierde 5. Es la maldición del ganador.
¿Cómo se evita?$ \text{ofrecer bajo la propia estimación} $Ganar es una mala noticia: significa que los demás estimaron menos.

Situación	Ganador	Paga	Le vale	Resultado
Valores privados	Valor 100	80	100	+20
Valor común	Estimó 70	55	50	−5

Lo que se responde: con valores privados, en segundo precio se ofrece la valoración. Con valor común incierto, el ganador tiende a pagar de más si no corrige su oferta hacia abajo.

Producción y costos

Cómo transforma la empresa insumos en producto y cuánto le cuesta. De aquí sale la oferta de la firma, y casi todas las preguntas de competencia, monopolio y oligopolio parten de una función de costos.

Función de producción y productividades

Sirve para describir la tecnología: cuánto producto sale con cada combinación de capital y trabajo, y qué pasa al agregar un insumo. Es lo que mira una empresa antes de contratar un turno más o comprar otra máquina.

Imagina una cocina con un solo horno. El primer cocinero produce mucho, el segundo también, pero el quinto ya se estorba con los demás: cada cocinero extra aporta menos porque el horno no crece. Eso son los rendimientos decrecientes. El producto medio es cuánto produce cada cocinero en promedio; el marginal, cuánto agrega el último.

$$PMg_L=\frac{\partial Q}{\partial L}\qquad PMe_L=\frac{Q}{L}\qquad RTS_{L,K}=\frac{PMg_L}{PMg_K}$$

Ley de rendimientos decrecientes: al aumentar un solo factor, su producto marginal cae. Es de corto plazo (un factor fijo).
Producto medio y marginal: el marginal corta al medio en el máximo del medio. Si el marginal está sobre el medio, el medio sube.
Isocuanta: combinaciones de K y L que dan el mismo producto. Su pendiente es la RTS.
Elasticidad de sustitución $ \sigma $: cuánto cambia K/L cuando cambia la RTS. Cobb-Douglas σ = 1, Leontief σ = 0, sustitutos perfectos σ = ∞.

El casoUna panadería tiene $ Q=10K^{1/2}L^{1/2} $ y en el corto plazo su capital está fijo en K = 16 hornos. ¿Cómo cambian el producto medio y el marginal al contratar más trabajadores?

K 16 (fijo)
Producción $ Q=40\sqrt L $

¿Producto con K fijo?$ Q=10\cdot4\cdot L^{1/2}=40\sqrt L $Con 4 trabajadores, 80 unidades.
¿Medio y marginal?$ PMe_L=\frac{40}{\sqrt L}\qquad PMg_L=\frac{20}{\sqrt L} $Ambos caen con L.
¿Relación entre ellos?$ PMg_L=\tfrac12\,PMe_L $Con Cobb-Douglas el marginal es una fracción fija (el exponente) del medio: el medio siempre es mayor.

Trabajadores	Q	PMe	PMg
1	40	40	20
4	80	20	10
9	120	13,3	6,7
16	160	10	5

Lo que se responde: con Cobb-Douglas $ PMg_L=b\cdot PMe_L $. Si te dicen que a bajos niveles de L el medio es menor que el marginal, es falso para esta tecnología.

Rendimientos a escala y homogeneidad

Sirve para saber qué pasa con el producto si se multiplican todos los insumos, y así anticipar si conviene una empresa grande o varias chicas. Explica por qué hay pocas empresas en industrias como la eléctrica o el agua potable. Es de largo plazo y no hay que confundirlo con rendimientos decrecientes de un factor.

Si duplicas todo (hornos, cocineros, harina) y la producción más que se duplica, hay rendimientos crecientes: lo grande es más barato. Si justo se duplica, constantes. Si crece menos, decrecientes. Es distinto a agregar solo cocineros: eso choca con el horno fijo y siempre termina rindiendo menos.

$$Q(\lambda K,\lambda L)=\lambda^{k}Q(K,L)\qquad Q=AK^{a}L^{b}\;\Rightarrow\;k=a+b$$

Grado k	Rendimientos	Costo medio de largo plazo
k > 1	Crecientes	Decreciente (economías de escala)
k = 1	Constantes	Constante
k < 1	Decrecientes	Creciente

Así lo preguntaron · Otoño 2023. Con $ Q=AK^{0{,}75}L^{0{,}25}M^{0{,}25} $: cada factor tiene rendimientos decrecientes (V) y la tecnología tiene rendimientos crecientes a escala (V, los exponentes suman 1,25). Las dos cosas pueden ser ciertas a la vez. "El producto medio del trabajo es menor que el marginal a bajos niveles de L" fue F: con Cobb-Douglas el marginal es una fracción fija del medio, $ PMg_L=b\cdot PMe_L $, así que el medio siempre es mayor.

El casoOtoño 2023: $ Q=AK^{0{,}75}L^{0{,}25}M^{0{,}25} $. Si la empresa duplica capital, trabajo y materiales, ¿cuánto sube la producción? ¿Y si duplica solo el trabajo?

Exponentes 0,75 · 0,25 · 0,25
Suma 1,25

¿Grado de homogeneidad?$ k=0{,}75+0{,}25+0{,}25=1{,}25 $Mayor que 1: rendimientos crecientes a escala.
¿Duplicando todo?$ 2^{1{,}25}\approx2{,}38 $La producción sube 138%: más que el doble.
¿Duplicando solo L?$ 2^{0{,}25}\approx1{,}19 $Sube solo 19%: el trabajo, solo, tiene rendimientos decrecientes.

Cuántas veces se multiplica Q

Todo × 2

× 2,38

Referencia

× 2

Solo L × 2

× 1,19

Rendimientos crecientes a escala y decrecientes por factor al mismo tiempo.

Lo que se responde: los rendimientos a escala se ven con la suma de exponentes; los de un factor, con su propio exponente. Pueden ir en direcciones distintas.

Minimización de costos y función de costos

Sirve para pasar de la tecnología a los costos: cuánto cuesta producir cada cantidad usando la mejor combinación de insumos. Explica, por ejemplo, por qué cuando sube el salario mínimo las empresas mecanizan.

Para producir una cantidad dada hay muchas combinaciones de máquinas y personas. La más barata es la que iguala lo que rinde el último peso gastado en cada insumo. Si el trabajo se encarece, conviene usar más máquinas y menos personas para la misma producción.

$$\min\;wL+rK\quad\text{s.a.}\quad Q(K,L)=\bar Q\qquad\Rightarrow\qquad\frac{PMg_L}{PMg_K}=\frac{w}{r}$$

Las demandas de factores que salen de acá son las condicionadas $ L(w,r,Q) $, $ K(w,r,Q) $. Lema de Shephard: $ L=\partial C/\partial w $.
La función de costos es homogénea de grado 1 en precios de factores, creciente y cóncava en ellos.
Corto plazo: un factor fijo (normalmente K). Costo total = costo fijo + variable. El costo de corto plazo nunca es menor que el de largo plazo.
Envolvente: el costo medio de largo plazo es la envolvente inferior de los costos medios de corto plazo.

$$CMg=\frac{dC}{dQ}\qquad CMe=\frac{C}{Q}\qquad CMg=CMe\;\text{en el mínimo del }CMe$$

Si la empresa puede arrendar o devolver capital en cualquier momento sin costo, no hay corto plazo de verdad: el costo relevante es el de largo plazo. El examen lo preguntó en Verano 2022 (afirmación 1.4, verdadera).

El casoUna empresa produce con $ Q=K^{1/2}L^{1/2} $, paga salario w = 4 y arriendo del capital r = 1. Quiere producir 20 unidades al menor costo.

w 4
r 1
Q 20

¿Condición de tangencia?$ \frac{PMg_L}{PMg_K}=\frac{K}{L}=\frac{w}{r}=4\Rightarrow K=4L $El trabajo es caro: usa 4 de capital por cada trabajador.
¿Cuánto de cada uno?$ \sqrt{4L\cdot L}=2L=20\Rightarrow L=10,\;K=40 $Reemplazando en la isocuanta.
¿Costo mínimo?$ C=4\cdot10+1\cdot40=80 $En general $ C=2Q\sqrt{wr} $: CMe = CMg = 4, constante por rendimientos constantes.
¿Y si el salario sube a 9?$ K=9L\Rightarrow L=6{,}7,\;K=60,\;C=120 $Reemplaza trabajo por capital y el costo sube 50%, menos que el salario.

Salario	L	K	Costo de 20 unidades
4	10	40	80
9	6,7	60	120

Lo que se responde: la combinación óptima iguala RTS = w/r. Cuando sube un factor, la demanda condicionada de ese factor cae (la función de costos es cóncava en precios).

Maximización de beneficios y oferta de la firma

Sirve para obtener cuánto produce una empresa tomadora de precios y desde qué precio deja de producir. Explica por qué una mina sigue operando un tiempo con pérdidas cuando cae el precio del cobre, y cuándo cierra.

Si el precio está dado, la empresa produce una unidad más mientras lo que recibe por ella (el precio) supere lo que le cuesta (el costo marginal). Para en el punto donde precio y costo marginal se igualan. En el corto plazo sigue abierta si cubre al menos los costos variables; en el largo plazo, si cubre todos los costos.

$$\max_Q\;pQ-C(Q)\;\Rightarrow\;p=CMg(Q),\quad CMg\;\text{creciente}$$

Oferta de corto plazo: la curva de CMg sobre el mínimo del costo variable medio (punto de cierre).
Oferta de largo plazo: la curva de CMg sobre el mínimo del costo medio total (punto de salida).
Con rendimientos constantes a escala y precio sobre el costo medio, la empresa querría producir infinito; con precio igual al costo medio le da lo mismo cuánto producir. Por eso en competencia con retornos constantes el tamaño de cada firma queda indeterminado.
Lema de Hotelling: $ Q=\partial\pi/\partial p $, $ L=-\partial\pi/\partial w $.

El casoUna empresa tiene $ C(q)=q^2+16 $. ¿Cuál es su oferta y cuánto produce con precio 10? ¿Qué pasa en el largo plazo con libre entrada?

Costo fijo 16
CMg 2q
Precio 10

¿Dónde está el mínimo del costo medio?$ CMe=q+\frac{16}{q},\quad q+\tfrac{16}{q}=2q\Rightarrow q=4,\;CMe=8 $Con precio bajo 8 tiene pérdidas en el largo plazo.
¿Cuánto produce a precio 10?$ 10=2q\Rightarrow q=5 $Precio igual a costo marginal.
¿Gana o pierde?$ \pi=10\cdot5-(25+16)=9 $Beneficio positivo: en el largo plazo entrarían más empresas hasta bajar el precio a 8.
¿Y a precio 8?$ q=4,\;\pi=32-(16+16)=0 $Beneficio cero: nadie entra ni sale.

Beneficio de la empresa según el precio

p = 10

p = 8

La entrada empuja el precio al mínimo del costo medio.

Lo que se responde: la oferta de largo plazo es $ q=p/2 $ para $ p\ge 8 $, y cero bajo 8. Con libre entrada, el precio de largo plazo es 8.

Competencia perfecta e intervenciones

El mercado con muchas empresas tomadoras de precio. Es la referencia de eficiencia contra la que se compara todo lo demás, y el lugar donde se miden los efectos de impuestos, subsidios y precios regulados.

Equilibrio de corto y largo plazo

Sirve para encontrar precio, cantidad y número de empresas en un mercado competitivo, que es el cálculo que el examen pide con una función de costos y una demanda. En la práctica explica por qué los precios de productos agrícolas o de servicios simples tienden al costo.

En el corto plazo las empresas que hay se reparten el mercado y pueden ganar o perder. Si ganan, llegan nuevas empresas atraídas por esa plata, la oferta crece y el precio baja. Eso sigue hasta que nadie gana más que en otro negocio: el precio queda en el mínimo del costo medio y cada empresa produce en su tamaño más eficiente.

Corto plazo: número de empresas fijo. La oferta de mercado es la suma horizontal de los CMg individuales (sobre el mínimo del CVMe). El precio sale de igualar oferta y demanda, y las empresas pueden tener beneficios o pérdidas.
Largo plazo con libre entrada: entran empresas mientras haya beneficios. Con empresas idénticas, el precio baja hasta el mínimo del costo medio, cada empresa produce en la escala eficiente y el beneficio económico es cero.
Oferta de largo plazo: horizontal al nivel del CMe mínimo si los precios de los insumos no cambian (industria de costos constantes). Tiene pendiente positiva solo si al crecer la industria suben los costos de los insumos o las empresas son distintas.

$$p^{LP}=\min CMe\qquad n^{LP}=\frac{Q^d(p^{LP})}{q^{\text{eficiente}}}$$

El casoPrimavera 2022: todas las empresas tienen $ C=4q^3-16q^2+26q $ y la demanda de mercado es Q = 100 − P. ¿Cuál es el equilibrio de largo plazo y cuántas empresas hay?

Costo 4q³ − 16q² + 26q
Demanda Q = 100 − P

¿Costo medio y marginal?$ CMe=4q^2-16q+26\qquad CMg=12q^2-32q+26 $Sin costo fijo: el CMe es el costo variable medio.
¿Mínimo del costo medio?$ CMe'=8q-16=0\Rightarrow q=2,\;CMe=16-32+26=10 $Comprueba: CMg(2) = 48 − 64 + 26 = 10. "El CMe mínimo es 2" era F.
¿Precio y cantidad de mercado?$ P^{LP}=10,\;Q=100-10=90 $"El precio de largo plazo es $12" era F.
¿Cuántas empresas?$ n=\frac{90}{2}=45 $V. La oferta de largo plazo es horizontal en 10, así que "tiene pendiente positiva" era F.

Afirmación	Cálculo	Veredicto
CMe mínimo es 2	CMe mínimo = 10 en q = 2	F
Precio de LP $12	P = 10	F
Hay 45 firmas	90 / 2	V
Oferta LP con pendiente positiva	horizontal en 10	F

Lo que se responde: el precio de largo plazo es el mínimo del CMe, la cantidad sale de la demanda a ese precio y el número de empresas es la cantidad dividida por la escala eficiente.

Excedentes y eficiencia

Sirve para medir quién gana en el mercado y demostrar que el equilibrio competitivo maximiza el excedente total. Es la vara con que se mide cualquier política: cuánto excedente crea o destruye.

El consumidor gana la diferencia entre lo que estaba dispuesto a pagar y lo que pagó; el productor, la diferencia entre lo que recibió y lo que le costó producir. En competencia se transan todas las unidades que valen más de lo que cuestan y ninguna otra, así que la suma de las dos ganancias es la máxima posible.

$$EC=\int_0^{Q^*}\!\!\big(P^d(Q)-P^*\big)dQ\qquad EP=\int_0^{Q^*}\!\!\big(P^*-P^s(Q)\big)dQ$$

Con curvas lineales ambos son triángulos: base × altura / 2.
El equilibrio competitivo produce donde el valor marginal para el consumidor (demanda) es igual al costo marginal (oferta): ninguna unidad que valga más de lo que cuesta queda sin producirse.
Producir menos deja sin hacer unidades valiosas; producir más fabrica unidades que cuestan más de lo que valen. En ambos casos aparece una pérdida social, el triángulo entre demanda y oferta.

El casoEn un mercado con oferta $ P=60+3Q $ y demanda $ P=100-Q $, ¿cuánto excedente se genera, y cuánto se pierde si una regulación limita la producción a 6 unidades?

Oferta 60 + 3Q
Demanda 100 − Q
Cuota 6

¿Equilibrio?$ 60+3Q=100-Q\Rightarrow Q=10,\;P=90 $El cruce de oferta y demanda.
¿Excedentes?$ EC=\tfrac12\cdot10\cdot10=50\qquad EP=\tfrac12\cdot10\cdot30=150 $El productor gana más porque su oferta es más empinada.
¿Con 6 unidades?$ P^d(6)=94,\;P^s(6)=78 $La última unidad que se deja de producir valía 94 y costaba 78.
¿Pérdida social?$ \tfrac12\cdot(94-78)\cdot(10-6)=32 $El triángulo de unidades valiosas que no se transan.

Excedente total

Competencia

200

Con cuota de 6

168

Cualquier cantidad distinta de 10 deja menos excedente total.

Lo que se responde: el equilibrio competitivo maximiza EC + EP. La pérdida de una intervención es el triángulo entre demanda y oferta en las unidades que deja de transar (o que agrega de más).

Impuestos y subsidios: incidencia y pérdida de eficiencia

Sirve para responder quién paga un impuesto y cuánto bienestar se pierde. Es el núcleo de muchos ensayos (royalty, impuestos verdes, impuesto a inmuebles) y de la discusión sobre el IVA a los combustibles o a los alimentos.

Da lo mismo si la ley le cobra el impuesto al vendedor o al comprador: lo termina pagando más el lado del mercado que menos puede escapar. Si los compradores no pueden dejar de comprar (demanda inelástica), cargan con casi todo. Además se dejan de transar unidades que valían la pena: eso es la pérdida social.

$$\text{Parte del consumidor}=\frac{\varepsilon_S}{\varepsilon_S+|\varepsilon_D|}\qquad PES\approx\tfrac12\,t\,\Delta Q$$

La incidencia económica no depende de a quién se le cobra legalmente.
La pérdida social (triángulo de Harberger) crece con el cuadrado del impuesto y con las elasticidades.
Si un lado es perfectamente elástico, el otro paga todo. Ejemplo del ensayo de Otoño 2023: un royalty forestal con precio internacional dado lo paga la empresa, y si la tierra no tiene usos alternativos termina capitalizándose en un menor precio de la tierra.
Subsidio: lo mismo al revés. Se reparte según elasticidades y también genera pérdida social (se producen unidades que valen menos de lo que cuestan).

El casoVerano 2022, pregunta 2: oferta $ P=60+3Q $, demanda $ P=100-Q $. El gobierno pone un impuesto de 20 por unidad a la producción.

Oferta 60 + 3Q
Demanda 100 − Q
Impuesto 20

¿Equilibrio sin impuesto?$ 60+3Q=100-Q\Rightarrow Q=10,\;P=90 $EC = 10·10/2 = 50, EP = 30·10/2 = 150.
¿Con impuesto?$ 80+3Q=100-Q\Rightarrow Q=5,\;P_c=95,\;P_v=75 $El consumidor paga 5 más y el productor recibe 15 menos.
¿Pérdida social?$ \tfrac12\cdot20\cdot(10-5)=50 $La recaudación es 20·5 = 100.

Quién paga los 20 del impuesto

Productor

Consumidor

Paga más el lado más inelástico: aquí, la oferta.

Lo que se responde: el productor carga con 3/4 del impuesto porque su oferta es más inelástica (pendiente 3 contra 1). P' = 95 (V) y pérdida 50 (V).

Precios máximos, mínimos y comercio

Sirve para analizar regulaciones de precio y apertura comercial con oferta y demanda: tarifas reguladas, arriendos congelados, bandas de precio y aranceles. Responde quién gana, quién pierde y qué se pierde por el camino.

Si el gobierno obliga a vender más barato que el equilibrio, mucha gente quiere comprar pero pocos quieren vender: aparece escasez y se transa solo lo que los vendedores ofrecen. Si obliga a vender más caro, sobra producto. En ambos casos se deja de transar algo que valía la pena.

Precio máximo bajo el equilibrio: escasez (Qd > Qs). Se transa la cantidad ofrecida; pierde eficiencia y aparecen colas, mercado negro o caída de calidad. Ejemplo del examen (Primavera 2022, 1.1): en días de lluvia faltan taxis de tarifa regulada porque sube la demanda, baja la oferta y el precio no puede subir para equilibrar. La afirmación que lo atribuía solo a que "los taxistas trabajan menos porque cobran más caro" era falsa: con tarifa regulada no pueden cobrar más.
Precio mínimo sobre el equilibrio: exceso de oferta. En el mercado laboral es el salario mínimo (pestaña Economía laboral).
Apertura al comercio: un país pequeño importador gana el triángulo de ganancias del comercio; los consumidores ganan más de lo que pierden los productores locales. Un arancel recupera parte para los productores y el fisco, pero genera dos triángulos de pérdida.
Cuota: igual efecto en precio que un arancel equivalente, pero la renta va a quien tiene la licencia en vez del fisco.

El casoEl mercado de arriendos de una ciudad tiene demanda $ P=100-Q $ y oferta $ P=20+Q $ (miles de departamentos, precio en miles de pesos). La municipalidad fija un arriendo máximo de 40.

Demanda 100 − Q
Oferta 20 + Q
Precio máximo 40

¿Equilibrio libre?$ 100-Q=20+Q\Rightarrow Q=40,\;P=60 $El máximo de 40 está bajo el equilibrio: es efectivo.
¿Cuánto se ofrece y se demanda a 40?$ Q^s=20\qquad Q^d=60 $Escasez de 40 mil departamentos.
¿Cuánto se transa?$ Q=\min(Q^s,Q^d)=20 $Manda el lado corto del mercado: los arrendadores.
¿Pérdida social?$ \tfrac12\cdot\big(P^d(20)-P^s(20)\big)\cdot(40-20)=\tfrac12\cdot40\cdot20=400 $Departamentos que valían 60 a 80 para los arrendatarios y costaban 40 a 60 dejan de arrendarse.

Departamentos (miles)

Demandados a 40

Equilibrio libre

Ofrecidos a 40

La escasez se reparte con colas, contactos o pagos por fuera.

Lo que se responde: un precio máximo efectivo reduce la cantidad transada a la ofrecida, genera escasez y una pérdida social. Los que consiguen arriendo ganan; los propietarios y los que quedan fuera pierden.

Monopolio, discriminación de precios y monopsonio

Una sola empresa que enfrenta toda la demanda. El examen pregunta casi todos los años el equilibrio del monopolio, su pérdida de bienestar, cómo se regula y los tres grados de discriminación.

El equilibrio del monopolio

Sirve para calcular el precio y la cantidad que elige una empresa con poder de mercado y medir cuánto bienestar se pierde. Es la base de cómo la Fiscalía Nacional Económica evalúa fusiones o conductas de empresas dominantes.

Un monopolio sabe que si quiere vender una unidad más, tiene que bajarle el precio a todos sus clientes, no solo al nuevo. Por eso cada unidad extra le aporta menos que su precio, y le conviene vender menos y más caro que en competencia. Las unidades que deja sin vender, que valían más de lo que cuestan, son la pérdida social.

$$\max_Q\;P(Q)Q-C(Q)\;\Rightarrow\;IMg(Q)=CMg(Q)\qquad IMg=P\left(1-\frac{1}{|\varepsilon|}\right)$$

Lerner $ \frac{P-CMg}{P}=\frac{1}{|\varepsilon|} $: el margen es mayor cuanto más inelástica la demanda

Lineal si $ P=a-bQ $, entonces $ IMg=a-2bQ $

El monopolio siempre opera en el tramo elástico de la demanda ($ |\varepsilon|>1 $), porque ahí el ingreso marginal es positivo.
El ingreso marginal es menor que el precio para toda cantidad positiva: para vender una unidad más hay que bajar el precio a todas las anteriores.
No tiene curva de oferta: la cantidad depende de la forma de la demanda, no solo del precio.
Pérdida de bienestar: el triángulo entre la demanda y el CMg, desde $ Q^m $ hasta la cantidad competitiva.

El casoUna empresa es la única que vende un remedio con patente. La demanda es $ P=100-Q $ y el costo marginal es 20. ¿Qué precio cobra y cuánto bienestar se pierde respecto a competencia?

Demanda 100 − Q
CMg 20

¿Ingreso marginal?$ IMg=100-2Q $Doble pendiente que la demanda.
¿Equilibrio?$ 100-2Q=20\Rightarrow Q^m=40,\;P^m=60,\;\pi=(60-20)\cdot40=1.600 $En competencia sería Q = 80 y P = 20.
¿Índice de Lerner?$ \frac{60-20}{60}=0{,}67=\frac{1}{|\varepsilon|},\;\varepsilon=-\frac{60}{40}=-1{,}5 $Opera en el tramo elástico.
¿Pérdida social?$ \tfrac12\cdot(60-20)\cdot(80-40)=800 $El triángulo entre la demanda y el CMg.

Estructura	Q	P	EC	EP	Pérdida
Competencia	80	20	3.200	0	0
Monopolio	40	60	800	1.600	800

Lo que se responde: IMg = CMg da Q^m; el precio se lee en la demanda. El monopolio transfiere excedente del consumidor al productor y además destruye 800.

Monopolio natural y regulación

Sirve para analizar empresas con costos medios decrecientes (electricidad, agua, gas por redes), donde una sola empresa produce más barato que varias. En Chile es la lógica de las tarifas que fija la Superintendencia de Servicios Sanitarios o la CNE para la distribución eléctrica.

Tender una red de agua cuesta muchísimo, pero llevar un litro más casi no cuesta nada. Por eso una sola empresa es más barata que dos. El problema es que sola cobraría como monopolio, y si la obligas a cobrar el costo marginal no recupera la inversión de la red. La regulación busca un punto medio.

Regla	Precio	Resultado
Sin regulación	IMg = CMg	Beneficio positivo, pérdida de eficiencia
Costo marginal	P = CMg	Eficiente, pero pérdidas si el CMe es decreciente: requiere subsidio
Costo medio	P = CMe	Beneficio cero, pérdida de eficiencia pequeña
Tarifa en dos partes	cargo fijo + P = CMg	Eficiente en el margen y la empresa cubre costos

Así lo preguntaron · Otoño 2025. Un monopolio natural eléctrico con gráfico de CMg, CMe, demanda e IMg: sin regulación cobra $0,80 (V); con P = CMg = $0,30 pierde $1.000, no $2.500 (F); con P = $0,50 el precio iguala al costo medio y el beneficio es cero, no "utilidades anormales" (F); con una externalidad de $0,10 por KWh, la pérdida social del monopolio baja a $800 porque la cantidad socialmente óptima también baja (F).

El casoUna distribuidora de gas por red tiene costo fijo 600 y costo marginal 20; la demanda es $ P=100-Q $. Compara las tres reglas de precio.

Costo 600 + 20Q
Demanda 100 − Q
CMe 20 + 600/Q

¿Sin regulación?$ 100-2Q=20\Rightarrow Q=40,\;P=60,\;\pi=1.600-600=1.000 $Gana y deja una pérdida social de 800.
¿Con P = CMg?$ P=20,\;Q=80,\;\pi=0-600=-600 $Eficiente, pero pierde el costo fijo: sin subsidio cierra.
¿Con P = CMe?$ 100-Q=20+\tfrac{600}{Q}\Rightarrow Q\approx71{,}6,\;P\approx28{,}4 $Beneficio cero y una pérdida social chica: ½ · 8,4 · 8,4 ≈ 35.
¿Tarifa en dos partes?$ P=20\text{ por unidad}+\text{cargo fijo total }600 $Produce 80 y cubre el costo fijo con el cargo.

Regla	Q	P	Beneficio	Pérdida social
Sin regulación	40	60	1.000	800
P = CMg	80	20	−600	0
P = CMe	71,6	28,4	0	≈ 35
Dos partes	80	20 + cargo	0	0

Lo que se responde: con costo medio decreciente, P = CMg genera pérdidas iguales al costo fijo. P = CMe da beneficio cero; la tarifa en dos partes logra eficiencia sin subsidio.

Discriminación de precios

Sirve para entender cómo un monopolista cobra precios distintos para capturar más excedente, y qué pasa con la eficiencia. Está en todas partes: tarifas de estudiante, pasajes de avión que cambian según la fecha, planes de celular y descuentos por volumen.

Si una empresa pudiera cobrarle a cada cliente lo máximo que está dispuesto a pagar, vendería a todos los que valoran el producto sobre su costo y se quedaría con todo el excedente. Como casi nunca sabe cuánto vale para cada uno, separa por grupos (estudiantes, tercera edad) o arma menús para que cada cliente se clasifique solo.

Grado	Cómo funciona	Eficiencia
Primer grado (perfecta)	Cobra a cada uno su disposición a pagar máxima	Eficiente: produce la cantidad competitiva. Todo el excedente va al productor.
Segundo grado (por bloques, menús, tarifa en dos partes)	No distingue tipos; ofrece opciones que se autoseleccionan	Mejora respecto al precio único; el tipo alto suele recibir la cantidad eficiente
Tercer grado (por grupos)	Distingue grupos observables y fija IMg₁ = IMg₂ = CMg	Ambigua; con demandas lineales y ambos mercados atendidos, la cantidad total es igual que con precio único

$$\text{Tercer grado: }P_1\left(1-\tfrac{1}{|\varepsilon_1|}\right)=P_2\left(1-\tfrac{1}{|\varepsilon_2|}\right)=CMg\;\Rightarrow\;\text{más caro donde la demanda es más inelástica}$$

Requisitos: poder de mercado, poder separar a los grupos y que no haya arbitraje (reventa).
Tarifa en dos partes con un solo tipo: precio variable = CMg y cargo fijo = todo el excedente del consumidor. Bienestar máximo, todo para la empresa.
Con dos tipos y tarifa única en dos partes: el precio variable queda sobre el CMg para cobrar un cargo fijo igual al excedente del tipo bajo. A veces conviene venderle solo al tipo alto: hay que comparar los dos beneficios.

Así lo preguntaron · Otoño 2026 y Primavera 2025. Con $ P_1=100-Q_1 $, $ P_2=60-Q_2 $ y c = 20: el precio es mayor en el mercado 1 (V), prohibir la discriminación no aumenta el beneficio (V), "la discriminación reduce la cantidad total" (F: se mantiene). En Primavera 2025: "en tercer grado se cobra más caro al grupo más elástico" (F, es al revés) y "la discriminación de primer grado logra eficiencia asignativa" (V).

El casoModelo 1 de Primavera 2026: un monopolista con CMg = 0 enfrenta un consumidor con demanda q = 74 − p. ¿Cuánto gana con precio único y con tarifa en dos partes?

Demanda q = 74 − p
CMg 0

¿Precio único?$ IMg=74-2q=0\Rightarrow q=37,\;p=37,\;\pi=1.369 $Es la alternativa B de la pregunta 1.
¿Tarifa en dos partes?$ p=CMg=0,\;q=74,\;A=\tfrac12\cdot74\cdot74=2.738 $Cobra todo el excedente como cargo fijo.
¿Qué pasa con el bienestar?$ \text{PES}_{\text{lineal}}=\tfrac12\cdot37\cdot37=684{,}5,\quad\text{PES}_{\text{dos partes}}=0 $La tarifa en dos partes elimina la pérdida porque el precio marginal iguala al costo marginal.

Beneficio del monopolista

Dos partes

2.738

Precio único

1.369

Duplica su beneficio y el bienestar total queda en su máximo.

Lo que se responde: la tarifa en dos partes genera más bienestar social que la lineal (alternativa B de la pregunta 2), aunque todo el excedente quede en la empresa.

Monopsonio

Sirve para el caso de un solo comprador, típicamente un único empleador en un pueblo minero o forestal, o un supermercado frente a pequeños proveedores. Explica por qué un salario mínimo puede subir el empleo.

Si eres el único empleador del pueblo y quieres contratar a una persona más, tienes que subirle el sueldo a todos para atraerla. Contratar sale más caro que el salario de esa persona, así que contratas menos y pagas menos que en competencia. Un salario mínimo bien puesto le quita ese incentivo.

$$\max_L\;P\,f(L)-w(L)L\;\Rightarrow\;VPMg_L=CMg_L=w(L)+w'(L)L$$

El monopsonista contrata menos trabajadores y paga un salario menor que en competencia.
Un salario mínimo entre el salario de monopsonio y el competitivo aumenta el empleo y el salario a la vez.
Con el mínimo, el costo de contratar a uno más deja de subir con L: es el salario fijado, hasta donde la oferta de trabajo alcance.

El casoUna salmonera es el único empleador de una isla. La oferta de trabajo es $ w=10+L $ y el valor del producto marginal es $ VPMg=100-L $. ¿Cuánto contrata y qué pasa con un salario mínimo de 50?

Oferta w = 10 + L
VPMg 100 − L
Mínimo 50

¿Costo marginal de contratar?$ wL=(10+L)L\Rightarrow CMg_L=10+2L $Al contratar uno más sube el sueldo de todos.
¿Monopsonio?$ 100-L=10+2L\Rightarrow L=30,\;w=40 $El salario se lee en la oferta.
¿Competencia?$ 100-L=10+L\Rightarrow L=45,\;w=55 $Más empleo y mejor salario.
¿Con mínimo de 50?$ \text{oferta a 50: }L=40;\;\text{VPMg}=50\text{ en }L=50\Rightarrow L=40 $Contrata a todos los que quieren trabajar a 50: el empleo sube de 30 a 40.

Empleo en la isla

Monopsonio

Mínimo de 50

Competencia

Un mínimo entre 40 y 55 sube salario y empleo a la vez.

Lo que se responde: en monopsonio VPMg = CMg_L > w. Un salario mínimo entre el de monopsonio y el competitivo aumenta el empleo, al revés que en un mercado competitivo.

Teoría de juegos

Las herramientas para analizar decisiones que dependen de lo que hace el otro. Se usan solas en el examen (una matriz de pagos con un parámetro) y como base del oligopolio, la colusión y los bienes públicos.

Equilibrio de Nash en estrategias puras

Sirve para predecir el resultado de un juego simultáneo: cada jugador hace lo mejor que puede dado lo que hace el otro. Se usa para anticipar guerras de publicidad, carreras de precios o negociaciones entre empresas y gobiernos.

Un equilibrio de Nash es una situación en que nadie se arrepiente: si te muestran lo que eligió el otro, igual mantienes tu jugada. No significa que el resultado sea bueno para todos: dos empresas pueden terminar gastando en publicidad que no les sirve, solo porque ninguna se atreve a dejar de hacerlo sola.

Estrategia dominante: es la mejor sin importar lo que haga el otro. Si ambos tienen una, el equilibrio es jugar ambas.
Cómo encontrarlo en una matriz: para cada columna, subraya el mejor pago del jugador fila; para cada fila, el mejor pago del jugador columna. Las celdas con los dos pagos subrayados son equilibrios de Nash.
Un juego puede tener varios equilibrios en puras o ninguno (como "cara o sello").
Nash no es eficiencia: en el dilema del prisionero el único equilibrio es que ambos confiesen, y los dos estarían mejor callando.

Así lo preguntaron · Primavera 2025. "En un juego no repetido con información completa y perfecta, el equilibrio de Nash es siempre Pareto eficiente" fue falsa: el contraejemplo es el dilema del prisionero. "En un dilema del prisionero repetido infinitamente se puede sostener la cooperación con castigos creíbles, si el descuento lo permite" fue verdadera (teorema Folk o "del pueblo").

El casoDos cadenas de farmacias deciden si hacer una campaña de publicidad. Si ambas la hacen ganan 4 cada una; si ninguna, 6 cada una; si solo una, esa gana 8 y la otra 2. ¿Qué pasa?

(Pub, Pub) 4, 4
(Pub, No) 8, 2
(No, Pub) 2, 8
(No, No) 6, 6

¿Mejor respuesta si la otra hace publicidad?$ 4>2\Rightarrow\text{Publicidad} $Si no la hago, pierdo clientes.
¿Y si la otra no hace?$ 8>6\Rightarrow\text{Publicidad} $Hacerla me deja con más clientes.
¿Equilibrio?$ (\text{Pub},\text{Pub})\text{ con pagos }(4,4) $Publicidad es estrategia dominante para ambas.
¿Es eficiente?$ (6,6)\text{ mejora a ambas} $No es Pareto eficiente: es un dilema del prisionero.

Ganancia de cada farmacia

Ninguna publicita

Equilibrio: ambas

El equilibrio es peor para las dos, pero ninguna gana desviándose sola.

Lo que se responde: si hay una estrategia dominante, el equilibrio es jugarla. Que sea Nash no garantiza que sea eficiente.

Estrategias mixtas

Sirve para encontrar el equilibrio cuando no hay ninguno en estrategias puras, como en las fiscalizaciones (el SII o la Dirección del Trabajo no pueden revisar a todos) o en un penal en el fútbol. También para encontrar todos los equilibrios de un juego.

Si el fiscalizador siempre inspecciona, todos cumplen y no vale la pena inspeccionar; si nunca lo hace, nadie cumple. El equilibrio es sorprender: inspeccionar a veces, con la probabilidad justa para que a la empresa le dé lo mismo cumplir o no. Lo raro es que esa probabilidad la fijan los pagos del otro jugador.

$$\text{Jugador 2 elige }q\text{ tal que el jugador 1 queda indiferente: }\;E[\pi_1(A)]=E[\pi_1(B)]$$

La probabilidad con que juega cada jugador se elige para dejar indiferente al otro, no a sí mismo.
Todo juego finito tiene al menos un equilibrio de Nash, posiblemente en mixtas (teorema de Nash).

El casoUn fiscalizador decide si inspeccionar (costo 2) y una empresa si cumplir la norma (costo 3). Si la empresa no cumple y la inspeccionan, paga una multa de 10; si no cumple y nadie la revisa, la sociedad (y el fiscalizador) sufre un daño de 5. ¿Cuál es el equilibrio?

Costo de cumplir 3
Multa 10
Costo de inspeccionar 2
Daño si no cumple 5

¿Qué deja indiferente a la empresa?$ \text{Cumplir}=-3,\qquad\text{No cumplir}=-10p $p es la probabilidad de inspección.
¿Cuánto vale p?$ -3=-10p\Rightarrow p=0{,}3 $Si inspeccionara menos, a la empresa le convendría no cumplir nunca.
¿Qué deja indiferente al fiscalizador?$ \text{Inspeccionar}=-2,\qquad\text{No}=-5(1-q)\Rightarrow q=0{,}6 $La empresa cumple con probabilidad 0,6.
¿Y si la multa sube a 20?$ -3=-20p\Rightarrow p=0{,}15,\quad q=0{,}6 $Baja la inspección; el cumplimiento sigue en 60%.

Multa	Prob. de inspección	Prob. de cumplir
10	0,30	0,6
20	0,15	0,6

Lo que se responde: la probabilidad de inspección la determinan los pagos de la empresa y la de cumplir, los del fiscalizador. Subir la multa baja la inspección necesaria en equilibrio, no la tasa de incumplimiento.

Juegos secuenciales e inducción hacia atrás

Sirve para juegos donde uno mueve primero y el otro observa, como la entrada de una empresa a un mercado o una negociación salarial. Descarta amenazas que no son creíbles.

Si mueves primero, piensa qué hará el otro cuando le toque, no lo que dice que hará. Una empresa puede amenazar con una guerra de precios si entras, pero si esa guerra también la hace perder plata, cuando llegue el momento no la va a cumplir. Por eso se resuelve desde el final hacia el principio.

Equilibrio perfecto en subjuegos: un Nash que además es Nash en cada subjuego. Se encuentra por inducción hacia atrás: resolver desde la última decisión.
Un juego dinámico puede tener equilibrios de Nash sostenidos por amenazas no creíbles ("si entras, te hago una guerra de precios" cuando la guerra también le cuesta). El perfecto en subjuegos los elimina.
Ventaja del primero: en cantidades (Stackelberg) mover primero conviene; en precios con productos diferenciados puede convenir mover segundo.
Compromiso: la incumbente puede volver creíble la amenaza si se ata las manos antes (por ejemplo, invirtiendo en capacidad que solo se usa en guerra).

Primavera 2025 (b): "En un juego dinámico de dos etapas se puede tener equilibrios de Nash que no son creíbles". La pauta oficial la marcó falsa, argumentando que el equilibrio perfecto en subjuegos elimina esas estrategias. Ojo: un equilibrio de Nash (no perfecto) sí puede descansar en amenazas no creíbles; la pauta leyó la afirmación como referida al equilibrio relevante (perfecto en subjuegos).

El casoUna aerolínea nueva evalúa entrar a una ruta dominada por una incumbente. Si no entra, gana 0 y la incumbente 10. Si entra, la incumbente elige: acomodarse (3 y 3) o guerra de precios (−1 y −1). La incumbente anuncia guerra. ¿Entra?

No entra (0, 10)
Entra y acomoda (3, 3)
Entra y guerra (−1, −1)

¿Qué hace la incumbente si ya entraron?$ 3>-1\Rightarrow\text{Acomodar} $La guerra le cuesta a ella también.
¿Qué anticipa la entrante?$ \text{Entrar}=3>\text{No entrar}=0 $Sabe que la amenaza no se va a cumplir.
¿Equilibrio perfecto en subjuegos?$ (\text{Entrar},\text{Acomodar}) $Pagos 3 y 3.
¿Hay otro Nash?$ (\text{No entrar},\text{Guerra}) $Es Nash porque la guerra nunca se pone a prueba, pero descansa en una amenaza no creíble.

Equilibrio	Jugadas	Pagos	¿Creíble?
Perfecto en subjuegos	Entra, Acomoda	3, 3	Sí
Nash no perfecto	No entra, Guerra	0, 10	No

Lo que se responde: resuelve desde el último nodo. Un Nash puede apoyarse en amenazas que nadie cumpliría; el perfecto en subjuegos las descarta.

Juegos repetidos

Sirve para explicar cuándo la cooperación, o la colusión, se puede sostener sin contratos: proveedores que se cumplen por la relación de largo plazo, empresas que no se rebajan precios o países que respetan acuerdos comerciales.

Si vas a tratar con alguien una sola vez, te conviene aprovecharte. Si lo vas a ver siempre, traicionarlo hoy te cuesta todo lo que ganarías cooperando mañana. Mientras más te importe el futuro, más fácil es cooperar. Pero si ambos saben cuándo se acaba, en la última ronda nadie coopera, y por inducción tampoco antes.

Repetido finitas veces con un único Nash en la etapa: por inducción hacia atrás se juega el Nash en todas las etapas. Repetir dos veces un Bertrand da P = CMg las dos veces (Primavera 2024, 2.2: V).
Repetido infinitamente (o con final incierto): la cooperación se sostiene con estrategias gatillo si el factor de descuento es alto.

$$\frac{\pi^C}{1-\delta}\ \ge\ \pi^D+\frac{\delta\,\pi^N}{1-\delta}\quad\Longleftrightarrow\quad\delta\ \ge\ \frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N}$$

π^C pago cooperando cada período

π^D pago el período en que se desvía

π^N pago en el castigo (Nash de la etapa) para siempre

El casoLas dos farmacias del juego de publicidad se enfrentan todos los años sin fecha de término. Acuerdan no hacer publicidad y, si una lo rompe, la otra hace publicidad para siempre. ¿Desde qué δ se sostiene el acuerdo?

Cooperar π^C = 6
Desviarse π^D = 8
Castigo π^N = 4

¿Umbral?$ \delta\ge\frac{8-6}{8-4}=0{,}5 $Con estrategia gatillo.
¿Con δ = 0,6?$ \frac{6}{0{,}4}=15\;>\;8+\frac{0{,}6\cdot4}{0{,}4}=14 $Cooperar vale más: el acuerdo se sostiene.
¿Con δ = 0,4?$ \frac{6}{0{,}6}=10\;<\;8+\frac{0{,}4\cdot4}{0{,}6}=10{,}67 $Desviarse conviene: el acuerdo se rompe.

δ	Valor de cooperar	Valor de desviarse	¿Se sostiene?
0,4	10	10,67	No
0,5	12	12	Justo
0,6	15	14	Sí

Lo que se responde: la cooperación se sostiene si δ ≥ (π^D − π^C)/(π^D − π^N). Con horizonte finito conocido, no se sostiene en ninguna etapa.

Oligopolio: Cournot, Bertrand, Stackelberg y colusión

El tema más preguntado de la parte de Micro. Casi todos los años hay una pregunta de verdadero y falso con dos empresas, una demanda lineal y un costo marginal constante, y en 2026 también un ensayo sobre colusión.

Cournot: competencia en cantidades

Sirve para predecir precio y producción en mercados con pocas empresas que deciden cuánto producir, como el cemento, la celulosa o el salmón, y para medir cuánto baja el precio cuando entra un rival. El resultado queda entre el monopolio y la competencia.

Cada empresa decide cuánto producir adivinando cuánto producirá la otra. Si el rival produce más, a mí me conviene producir menos, porque el precio cae para todos. El equilibrio está donde ninguna quiere cambiar dado lo que hace la otra: el cruce de las dos curvas de reacción. Juntas producen más que un monopolio y menos que en competencia.

Cómo se resuelve

Escribe el beneficio de la empresa i: $ \pi_i=\big(a-b(q_i+q_j)\big)q_i-cq_i $.
Deriva respecto a $ q_i $ e iguala a cero: esa es su función de reacción.
Por simetría $ q_i=q_j $: reemplaza y despeja.
Con Q obtén el precio y los beneficios.

$$P=a-b(q_1+q_2),\;C_i=cq_i\;\Rightarrow\;q_i=R_i(q_j)=\frac{a-c-bq_j}{2b}$$

$$q_i^*=\frac{a-c}{3b}\qquad Q^*=\frac{2(a-c)}{3b}\qquad P^*=\frac{a+2c}{3}\qquad \text{con }n\text{ firmas: }Q=\frac{n}{n+1}\frac{a-c}{b}$$

Costos distintos: $ q_1^*=\frac{a-2c_1+c_2}{3b} $. La empresa más eficiente produce más y tiene mayor participación.
Al aumentar n, el precio converge al costo marginal: $ P=\frac{a+nc}{n+1} $.
La función de reacción tiene pendiente negativa: las cantidades son sustitutos estratégicos.
Índice de Lerner en Cournot: $ \frac{P-CMg}{P}=\frac{s_i}{|\varepsilon|} $, donde $ s_i $ es la participación de mercado. Con n firmas simétricas, $ \frac{1}{n|\varepsilon|} $.

Los cinco resultados con los mismos datos

Demanda $ P=110-Q $ y costo marginal 20 para todas las empresas.

Estructura	Q	P	Beneficio por empresa
Monopolio o colusión	45	65	2.025 (1.012,5 cada una si son dos)
Cournot	60	50	900
Stackelberg	67,5	42,5	líder 1.012,5 y seguidor 506,25
Bertrand	90	20	0
Competencia perfecta	90	20	0

El casoOtoño 2026, pregunta 2 de verdadero y falso: dos empresas idénticas enfrentan la demanda P = 110 − Q y tienen costo marginal 20. Hay que juzgar cuatro afirmaciones sobre Cournot, colusión y su sostenibilidad.

a 110
b 1
c 20
Empresas 2

¿Función de reacción?$ 110-2q_i-q_j-20=0\Rightarrow q_i=\frac{90-q_j}{2} $Si el rival produce 25, la mejor respuesta es 32,5, no 25. Afirmación b: F.
¿Equilibrio de Cournot?$ q=30,\;Q=60,\;P=50,\;\pi_i=(50-20)\cdot30=900 $Afirmación a: V.
¿Y si se coluden?$ 110-2Q=20\Rightarrow Q=45,\;P=65,\;\pi_i=1.012{,}5 $Cada una produce 22,5. Afirmación c: V.
¿Cuánto gana la que traiciona?$ q^D=\frac{90-22{,}5}{2}=33{,}75,\;P=53{,}75,\;\pi^D\approx1.139 $Responde de forma óptima a que la otra sigue produciendo 22,5.
¿Es sostenible con estrategia gatillo?$ \delta\ge\frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N}=\frac{1.139-1.012{,}5}{1.139-900}\approx0{,}53 $Existe un rango de δ que la sostiene, así que "nunca es sostenible" es F.

Beneficio de una empresa en cada escenario

Traiciona

1.139

Coludida

1.012,5

Cournot

900

Traicionar paga hoy, pero después se vuelve a Cournot para siempre.

Lo que se responde: cuatro afirmaciones con un solo par de ecuaciones. Conviene tener en la cabeza q = (a − c)/3b y P = (a + 2c)/3 para responder en un minuto y usar el tiempo en la de colusión.

Bertrand: competencia en precios

Sirve para entender por qué dos empresas pueden bastar para llegar a un precio igual al costo cuando venden lo mismo, y por qué en la práctica las empresas se diferencian, limitan su capacidad o se ubican lejos para escapar de esa guerra de precios. El examen lo usa como trampa.

Si dos tiendas venden exactamente lo mismo, todos compran en la más barata. A cada una le conviene cobrar un peso menos que la otra para quedarse con todo el mercado, y la rebaja sigue hasta que el precio llega al costo: ahí bajar más significa perder plata. Con solo dos empresas se llega al resultado de competencia perfecta.

Paradoja de Bertrand: con producto homogéneo, costos marginales iguales y sin restricciones de capacidad, basta con dos empresas para llegar a $ P=CMg $ y beneficio cero.
Costos distintos ($ c_1<c_2 $): la empresa 1 cobra apenas menos que $ c_2 $ y se queda con todo el mercado, siempre que ese precio sea menor que su precio de monopolio.
Productos diferenciados: los precios quedan sobre el costo marginal y las funciones de reacción tienen pendiente positiva (complementos estratégicos): si el rival sube su precio, a mí también me conviene subirlo. Es el caso Tesla-BYD del Modelo Teórico de Primavera 2025.
Restricciones de capacidad (Kreps y Scheinkman): elegir capacidad primero y competir en precios después da el resultado de Cournot.
Mover primero en precios es una desventaja: el que fija después le cobra un peso menos. En cantidades (Stackelberg) es al revés.

Bertrand con productos diferenciados

$$q_i=\alpha-\beta p_i+\gamma p_j\;\Rightarrow\;p_i=R_i(p_j)=\frac{\alpha+\gamma p_j+\beta c}{2\beta}\qquad p^*=\frac{\alpha+\beta c}{2\beta-\gamma}$$

Así lo preguntaron. Verano 2022: "si compiten a lo Bertrand, el precio es 12 como en el monopolio" (F, es 4 = CMg). Otoño 2022: "a la Bertrand el precio es $ c/2b $" (F, es c). Primavera 2026: "en Bertrand cada empresa cobra 20 y gana 0" (V) y "ambas cobrando el precio de monopolio es un equilibrio de Nash del juego de una vez" (F, conviene bajar un poco el precio y quedarse con todo el mercado).

El casoDos distribuidoras venden el mismo gas en una comuna. La demanda es Q = 110 − P. La empresa A tiene costo marginal 10 porque importa directo; la B, costo 20. Compiten en precios una sola vez. ¿Qué precio se cobra y quién vende?

Demanda Q = 110 − P
CMg de A 10
CMg de B 20
Producto homogéneo

¿Hasta dónde puede bajar B?$ p_B\ge20 $Bajo su costo pierde plata en cada unidad, así que nunca cobra menos de 20.
¿Qué hace A?$ p_A=20-\varepsilon $Cobra apenas menos que el costo de B y se queda con toda la demanda.
¿Le conviene más el precio de monopolio?$ p^m_A=\frac{110+10}{2}=60>20 $Su precio de monopolio es mayor, así que el rival la limita: se queda en 20.
¿Cuánto vende y gana?$ Q=90,\;\pi_A=(20-10)\cdot90=900,\;\pi_B=0 $La más eficiente se lleva el mercado y gana justo su ventaja de costo por unidad.

Situación	Precio	Beneficio de A
Costos iguales (20 y 20)	20	0
Costos 10 y 20	20	900
Costos 10 y 70	60 (monopolio)	2.500

Lo que se responde: en Bertrand homogéneo el precio es el segundo costo más bajo, salvo que el precio de monopolio de la eficiente sea aún menor. Con costos iguales, P = CMg y beneficio cero aunque haya solo dos empresas.

Stackelberg: líder y seguidor

Sirve cuando una empresa decide primero y la otra la observa, como la incumbente que ya construyó su planta o la que anuncia su producción para la temporada. Muestra cuánto vale comprometerse antes que el rival.

El líder elige primero sabiendo cómo va a reaccionar el seguidor. Como el seguidor produce menos cuando el líder produce más, al líder le conviene producir harto y dejarle poco espacio. Mover primero en cantidades es una ventaja: el líder gana más que en Cournot y el seguidor menos.

Cómo se resuelve: hacia atrás

Resuelve primero al seguidor: su función de reacción $ q_S=\frac{a-c-bq_L}{2b} $, igual que en Cournot.
Reemplázala en el beneficio del líder: $ \pi_L=\big(a-b\,q_L-b\,q_S(q_L)-c\big)q_L=\frac{a-c-bq_L}{2}\,q_L $.
Maximiza respecto a $ q_L $ y vuelve a la reacción del seguidor.

$$q_L=\frac{a-c}{2b}\qquad q_S=\frac{a-c}{4b}\qquad Q=\frac{3(a-c)}{4b}\qquad P=\frac{a+3c}{4}$$

El líder produce la misma cantidad que un monopolio, pero el precio es menor porque el seguidor también vende.
La cantidad total es mayor y el precio menor que en Cournot: el consumidor está mejor.
El compromiso tiene que ser creíble: si el líder pudiera cambiar su cantidad después de ver al seguidor, volveríamos a Cournot.

El casoCon la misma demanda P = 110 − Q y costo 20, la empresa 1 ya instaló su capacidad y decide primero. ¿Cuánto produce cada una y quién gana con el orden?

a 110
b 1
c 20
Líder empresa 1

¿Cómo reacciona el seguidor?$ q_S=\frac{90-q_L}{2} $Por cada unidad más del líder, el seguidor recorta media.
¿Qué maximiza el líder?$ \pi_L=\frac{90-q_L}{2}\,q_L\Rightarrow q_L=45 $Internaliza que el seguidor le deja espacio.
¿Resultado?$ q_S=22{,}5,\;Q=67{,}5,\;P=42{,}5 $Más cantidad y menor precio que Cournot (60 y 50).
¿Beneficios?$ \pi_L=22{,}5\cdot45=1.012{,}5\qquad\pi_S=22{,}5\cdot22{,}5=506{,}25 $El líder gana 112,5 más que en Cournot; el seguidor, 393,75 menos.

Beneficio según el orden de juego

Líder

1.012,5

Cournot

900

Seguidor

506,25

Mover primero en cantidades vale; en precios sería al revés.

Lo que se responde: q_L = (a − c)/2b, q_S = (a − c)/4b. Si preguntan quién gana más, el líder; si preguntan si el consumidor está mejor que en Cournot, sí, porque la cantidad total sube.

Colusión y libre competencia

Sirve para explicar cuándo un cartel puede sostenerse y cómo se combate. En Chile la Fiscalía Nacional Económica persigue carteles como los del papel tissue o los pollos, y fue ensayo en Primavera 2026 con el caso Pluxee y Edenred.

Ponerse de acuerdo para cobrar caro conviene a todos juntos, pero a cada uno por separado le conviene traicionar: cobrar un poco menos y quedarse con los clientes del otro. El cartel solo dura si el castigo futuro pesa más que la ganancia de traicionar hoy. Por eso importa cuánto valoran el futuro las empresas, que es el factor de descuento δ.

$$\underbrace{\frac{\pi^C}{1-\delta}}_{\text{cumplir siempre}}\;\ge\;\underbrace{\pi^D+\frac{\delta\,\pi^N}{1-\delta}}_{\text{traicionar y ser castigado}}\;\Longleftrightarrow\;\delta\ge\frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N}$$

$$\text{Bertrand con }n\text{ firmas: }\;\frac{\pi^m/n}{1-\delta}\ge\pi^m\;\Longleftrightarrow\;\delta\ge1-\frac{1}{n}$$

Un acuerdo colusivo tiene que ser autosustentable: cada empresa tiene incentivo a desviarse (bajar precio o vender más) y solo la amenaza de castigo futuro lo impide.
Facilitan la colusión: pocas empresas, barreras de entrada, interacción frecuente, precios u ofertas observables, demanda estable, productos homogéneos, contacto en varios mercados.
La dificultan: muchas empresas, interacción poco frecuente (galletas de Navidad que se venden una vez al año: Primavera 2024, 2.4 V), precios secretos, demanda volátil, compradores grandes.
Asignación de clientes o zonas: hace el desvío casi inmediatamente observable, lo que facilita el monitoreo y amplía el rango de δ que sostiene el cartel.
Delación compensada: exime de la multa a la primera empresa que entrega evidencia. Rompe la confianza del cartel porque agrega una tercera opción (delatar) y crea una carrera por ser el primero.

Con Bertrand y dos empresas el umbral es δ ≥ 1/2. La afirmación de Primavera 2024 "el factor de descuento que sostiene la colusión es δ < 1/2" era falsa: el signo está al revés.

El casoUn mercado de tarjetas de alimentación para empresas tiene n emisores que compiten en precios con un producto casi idéntico. El beneficio de monopolio de toda la industria es 1.000 al año. ¿Desde qué factor de descuento pueden sostener un acuerdo de precios, y qué pasa si entra un tercer emisor?

Competencia Bertrand
π de monopolio 1.000
Castigo gatillo: P = CMg para siempre

¿Cuánto gana cada uno cumpliendo?$ \frac{1.000/n}{1-\delta} $Se reparten el beneficio de monopolio todos los años.
¿Y traicionando?$ 1.000+0 $Cobra un peso menos, se queda con todo el mercado un año y después Bertrand da cero para siempre.
¿Umbral con 2 emisores?$ \frac{500}{1-\delta}\ge1.000\Rightarrow\delta\ge0{,}5 $Basta con valorar el próximo año a la mitad.
¿Y con 3?$ \frac{333}{1-\delta}\ge1.000\Rightarrow\delta\ge0{,}67 $Cada uno se lleva menos del pastel y la traición tienta más.

δ mínimo para sostener el cartel

2 empresas

0,50

3 empresas

0,67

5 empresas

0,80

10 empresas

0,90

Más empresas exigen más paciencia: el cartel se vuelve más difícil.

Lo que se responde: el cartel se sostiene si δ ≥ 1 − 1/n. Todo lo que aumenta la ganancia de traicionar o reduce el castigo (más firmas, precios secretos, ventas poco frecuentes, delación compensada) lo hace menos estable.

Equilibrio general, Edgeworth y teoremas de bienestar

Varios mercados al mismo tiempo. Es la pregunta de verdadero y falso que más se repite: una economía de intercambio con dos personas y dos bienes, en que hay que encontrar el precio de Walras y decir si la asignación es eficiente.

Economía de intercambio y equilibrio de Walras

Sirve para encontrar los precios relativos que vacían todos los mercados cuando cada persona vende su dotación y compra lo que quiere. Es la forma de ver cómo un cambio en un mercado (el precio del cobre) se transmite a todos los demás.

Dos personas llegan con canastas distintas. El precio de Walras es el que hace que lo que una quiere vender sea justo lo que la otra quiere comprar, para los dos bienes a la vez. Si en un mercado sobra, el precio de ese bien baja; si falta, sube.

Elige un numerario: un precio igual a 1 (solo importan los precios relativos).
Calcula el ingreso de cada persona: el valor de su dotación, $ I_i=p_xw_{ix}+p_yw_{iy} $.
Saca las demandas (con Cobb-Douglas, la fracción fija del ingreso).
Iguala demanda total con dotación total en un mercado. El otro se vacía solo por la ley de Walras.

$$\sum_i x_i(p)=\sum_i w_{ix}\qquad\text{Ley de Walras: }\sum_k p_k\Big(\sum_i x_{ik}-\sum_i w_{ik}\Big)=0$$

El casoPrimavera 2026, pregunta 2: $ U_i=x_i^{1/2}y_i^{1/2} $, dotaciones $ w^1=(3,1) $ y $ w^2=(1,3) $, con y como numerario.

Dotación total (4, 4)
Numerario $ p_y=1 $

¿Utilidad en la dotación?$ U_1(3,1)=\sqrt3 $Afirmación a: V.
¿Demandas de x?$ x_1=\frac{3p_x+1}{2p_x},\qquad x_2=\frac{p_x+3}{2p_x} $Cada uno gasta la mitad de su ingreso en x.
¿Precio de equilibrio?$ \frac{3p_x+1+p_x+3}{2p_x}=4\Rightarrow p_x=1 $Asignación (2,2) y (2,2): afirmación b V.
¿Y si cambian las dotaciones a (2,0) y (2,4)?$ \frac{2p_x+2p_x+4}{2p_x}=4\Rightarrow p_x=1 $El precio no cambia (afirmación d: F), cambia la asignación: (1,1) y (3,3).

Dotaciones	p_x	Asignación de 1	Asignación de 2
(3,1) y (1,3)	1	(2, 2)	(2, 2)
(2,0) y (2,4)	1	(1, 1)	(3, 3)

Lo que se responde: con preferencias idénticas Cobb-Douglas ½-½ y dotaciones totales iguales de los dos bienes, el precio relativo es 1 sin importar cómo se repartan las dotaciones.

Eficiencia de Pareto y curva de contrato

Sirve para decir si una asignación se puede mejorar: es Pareto eficiente si no se puede mejorar a nadie sin empeorar a otro. Es el primer filtro para evaluar cualquier reparto, desde un intercambio entre dos personas hasta una política pública.

Si a ti te sobra pan y te falta café, y a tu vecino le pasa al revés, pueden cambiar y quedar los dos mejor. Mientras eso sea posible, la asignación no es eficiente. Se acaba cuando los dos valoran igual un bien respecto al otro: ahí cualquier cambio favorece a uno a costa del otro.

$$\text{Interior: }TMS^1_{x,y}=TMS^2_{x,y}$$

Curva de contrato: todas las asignaciones Pareto eficientes de la caja. Con Cobb-Douglas idénticas es la diagonal.
Núcleo: el tramo de la curva de contrato que deja a ambos al menos tan bien como en su dotación.
Con Leontief ($ \min\{x,\beta y\} $) las curvas de indiferencia tienen esquinas: la utilidad en la dotación puede ser cero y el equilibrio puede no existir si los parámetros son iguales (Otoño 2024).
Con sustitutos perfectos el equilibrio puede ser de esquina.

El casoCon las dotaciones de Primavera 2026, (3, 1) y (1, 3), y $ U_i=\sqrt{x_iy_i} $: ¿es eficiente quedarse con la dotación? ¿Qué asignaciones podrían acordar?

Persona 1 (3, 1)
Persona 2 (1, 3)
TMS y/x

¿TMS en la dotación?$ TMS^1=\frac13\qquad TMS^2=\frac31=3 $Son distintas: hay cambios que convienen a ambos.
¿Una mejora de Pareto?$ (2,2)\text{ y }(2,2):\;U=2>\sqrt3\approx1{,}73 $Los dos mejoran.
¿Curva de contrato?$ \frac{y_1}{x_1}=\frac{4-y_1}{4-x_1}\Rightarrow y_1=x_1 $La diagonal de la caja.
¿Núcleo?$ x_1\ge\sqrt3\;\text{ y }\;4-x_1\ge\sqrt3\Rightarrow 1{,}73\le x_1\le2{,}27 $El tramo de la diagonal donde ninguno queda peor que en su dotación.

Utilidad de la persona 1

Dotación (3, 1)

1,73

Equilibrio (2, 2)

Mejor punto del núcleo

2,27

El equilibrio de Walras cae dentro del núcleo.

Lo que se responde: si las TMS difieren, la asignación no es eficiente. Con Cobb-Douglas idénticas la curva de contrato es la diagonal y el núcleo es el tramo que ambos aceptan.

Los dos teoremas del bienestar

Sirve para conectar mercados con eficiencia. Es la razón por la que el examen pregunta "¿es Pareto eficiente el equilibrio?", y el argumento central de cualquier ensayo sobre cuándo intervenir un mercado y cuándo basta con redistribuir.

El primer teorema dice que si los mercados funcionan bien (sin externalidades, sin poder de mercado, con buena información), el resultado no deja ganancias sin aprovechar. El segundo dice que si no te gusta cómo quedó repartido, no hace falta tocar los precios: basta con redistribuir la riqueza de entrada y dejar que el mercado haga el resto.

Teorema	Dice	Requiere
Primero	Todo equilibrio de Walras es Pareto eficiente	Preferencias monótonas (localmente no saciadas), mercados completos, sin externalidades ni bienes públicos ni información asimétrica
Segundo	Toda asignación Pareto eficiente se puede alcanzar como equilibrio con una redistribución de dotaciones de suma fija	Además, preferencias convexas

El primer teorema no dice nada de equidad: una asignación en que una persona tiene todo también es eficiente.
El segundo teorema separa eficiencia de equidad: para redistribuir no hay que intervenir precios, basta con transferencias de suma fija.
La asimetría de dotaciones no invalida el primer teorema (Primavera 2026, 2c: F).

Así lo preguntaron · Otoño 2026. Con $ U^2=x_2^{1/3}y_2^{1/3}-\gamma x_1 $ (el consumo de x del consumidor 1 perjudica al 2), la afirmación "el equilibrio de Walras es Pareto eficiente" era F: hay una externalidad que los precios no recogen. Si γ = 0, la asignación de equilibrio no cambia (cada uno toma el consumo del otro como dado) pero ahora sí es eficiente (V).

El casoEn la economía de Primavera 2026 el gobierno quiere que la persona 2 termine con (3, 3) y la persona 1 con (1, 1), una asignación eficiente porque está en la diagonal. ¿Cómo lo logra sin fijar precios?

Meta (1, 1) y (3, 3)
Dotación total (4, 4)
Precio de equilibrio p_x = 1

¿Qué ingreso necesita cada uno?$ I_1=1\cdot1+1\cdot1=2\qquad I_2=3+3=6 $A precios 1 y 1.
¿Qué dotaciones le dan ese ingreso?$ w^1=(2,0),\;w^2=(2,4) $Una redistribución de suma fija de la dotación inicial.
¿El mercado llega a la meta?$ x_1=\frac{2}{2}=1,\;y_1=1,\;x_2=3,\;y_2=3 $Con p = 1, cada uno gasta la mitad en cada bien: justo la meta.

Paso	Persona 1	Persona 2
Dotación original	(3, 1)	(1, 3)
Después de redistribuir	(2, 0)	(2, 4)
Equilibrio de mercado	(1, 1)	(3, 3)

Lo que se responde: el segundo teorema permite alcanzar cualquier asignación eficiente redistribuyendo dotaciones y dejando operar los precios. Lo que no se puede es corregir una externalidad solo redistribuyendo: ahí falla el primero.

Equilibrio general con producción

Sirve para extender la eficiencia a una economía que produce: además de repartir bien, hay que producir lo correcto con los insumos correctos. Es la base del análisis de comercio internacional y de cómo una economía decide qué sectores crecen.

Una economía puede producir más de un bien solo a costa de producir menos del otro: eso es la frontera de posibilidades. Lo eficiente es que lo que cuesta producir un bien en términos del otro sea igual a lo que la gente lo valora. En competencia los dos se igualan al precio relativo, así que el mercado llega solo a ese punto.

Eficiencia en producción: igual RTS entre K y L en todos los sectores (curva de contrato de producción).
Frontera de posibilidades de producción: su pendiente es la tasa marginal de transformación, $ TMT=\frac{CMg_x}{CMg_y} $.
Eficiencia global: $ TMS=TMT $. En competencia se cumple porque ambos son iguales al precio relativo.

El casoUna economía cerrada puede producir cualquier combinación con $ x^2+y^2=100 $, y sus habitantes tienen $ U=xy $. ¿Qué produce y a qué precio relativo?

Frontera x² + y² = 100
Utilidad xy

¿TMT?$ TMT=-\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} $Cuántas unidades de y se sacrifican por una de x.
¿TMS?$ TMS=\frac{y}{x} $Cuánto y entregaría la gente por una de x.
¿Óptimo?$ \frac{x}{y}=\frac{y}{x}\Rightarrow x=y=\sqrt{50}\approx7{,}07 $TMS = TMT = 1.
¿Precio relativo?$ \frac{p_x}{p_y}=1 $Con ese precio, empresas y consumidores eligen la misma canasta.

Lo que se responde: el óptimo de una economía con producción cumple TMS = TMT = precio relativo. Si un impuesto separa el precio que pagan los consumidores del que reciben los productores, la igualdad se rompe.

Externalidades, bienes públicos y recursos comunes

Las fallas de mercado que más aparecen en el examen, sobre todo en los ensayos: incendios forestales, ciclovías, pesca, marejadas, contaminación. La clave es nombrar bien la falla y proponer el instrumento correcto.

Externalidades

Sirve para analizar actividades que afectan a terceros que no participan de la transacción, como la contaminación de una termoeléctrica o la congestión de un auto en hora punta. Sin intervención, el mercado produce demasiado de lo que daña y muy poco de lo que beneficia.

Una fábrica que contamina el río no paga por el daño a los pescadores. Como para ella contaminar es gratis, produce más de lo que convendría a la sociedad. La solución de fondo es que el que causa el daño lo sienta en su bolsillo, con un impuesto, un permiso que cueste o una negociación con los afectados.

$$CMgS=CMgP+CMgE\qquad\text{Óptimo social: }BMgS=CMgS$$

Externalidad negativa (contaminación, congestión): sobreproducción. Positiva (vacunas, investigación, ciclovías que bajan la congestión): subproducción.
La pérdida de bienestar es el triángulo entre la cantidad de mercado y la óptima.

Instrumento	Cómo funciona	Cuándo conviene
Impuesto pigouviano	Impuesto igual al daño marginal en el óptimo	Cuando se puede medir el daño y gravar la actividad que lo causa
Norma o estándar	Límite de emisión o tecnología obligatoria	Daños con umbral peligroso; pero no iguala costos marginales entre empresas
Permisos transables	Se fija la cantidad total y se transan derechos	Se conoce la meta de cantidad; se reduce donde es más barato
Coase (negociación)	Asignar derechos de propiedad y dejar negociar	Pocas partes, costos de transacción bajos

Teorema de Coase: con derechos de propiedad bien definidos y costos de transacción nulos, la negociación llega al resultado eficiente sin importar a quién se le asignen los derechos. La asignación sí cambia quién paga a quién (distribución). Falla cuando hay muchas partes o información privada.

Así lo preguntaron · ensayo Otoño 2023. Royalty a las forestales por los incendios. La pauta premió: identificar la externalidad (el daño a terceros que la forestal no considera), notar que un royalty parejo no cambia la inversión en prevención (grava igual a quien previene y a quien no), proponer un instrumento ligado al daño (impuesto a quien se le incendia la plantación o un mercado de seguros) y discutir la incidencia (precio internacional dado: lo paga la empresa y, con tierra sin usos alternativos, el dueño del predio).

El casoUna industria de cemento tiene costo marginal privado $ CMgP=20+Q $ y cada tonelada genera un daño de 10 por polvo a los vecinos. La demanda es $ P=100-Q $. ¿Cuánto se produce, cuánto convendría y qué impuesto lo corrige?

Demanda 100 − Q
CMgP 20 + Q
Daño marginal 10

¿Equilibrio de mercado?$ 100-Q=20+Q\Rightarrow Q=40,\;P=60 $Las empresas ignoran el polvo.
¿Óptimo social?$ 100-Q=30+Q\Rightarrow Q^*=35,\;P=65 $Con el costo marginal social, que suma el daño.
¿Pérdida social?$ \tfrac12\cdot10\cdot(40-35)=25 $Las 5 toneladas de más valen menos de lo que cuestan a la sociedad.
¿Impuesto pigouviano?$ t=CMgE(Q^*)=10 $Con t = 10 el mercado produce 35 solo y recauda 350.

Toneladas de cemento

Mercado

Óptimo (con t = 10)

El impuesto hace que la empresa sienta el daño que causa.

Lo que se responde: con externalidad negativa el mercado sobreproduce. El impuesto óptimo es el daño marginal evaluado en el óptimo, y la pérdida es el triángulo entre Q de mercado y Q*.

Clasificación de bienes: rivalidad y exclusión

Sirve para decidir si un bien lo provee bien el mercado, si hay que cobrar por congestión o si conviene provisión pública. Fue el primer punto del ensayo de ciclovías de Primavera 2026, y es el punto de partida de cualquier discusión sobre autopistas, parques o señal de televisión.

Dos preguntas bastan. ¿Si yo lo uso, te queda menos a ti? Eso es rivalidad. ¿Se puede impedir que lo use quien no paga? Eso es exclusión. Un pan es rival y excluible; la defensa nacional, ninguna de las dos. Los problemas aparecen cuando no se puede excluir.

	Excluible	No excluible
Rival	Bien privado (un pan)	Recurso común (peces, una avenida congestionada)
No rival	Bien club (cable, autopista con peaje sin congestión)	Bien público puro (defensa, calle vacía de noche)

La clasificación depende del contexto: la misma calle es casi un bien público de noche y un recurso común en hora punta. Decirlo así sumaba puntaje en la pauta.

El casoPrimavera 2026, ensayo de ciclovías: ¿qué tipo de bien es una ciclovía urbana y qué implica para quién debe proveerla?

Bien ciclovía urbana
Pregunta rivalidad y exclusión

¿Se puede excluir?$ \text{No a un costo razonable} $Cobrar a cada ciclista sería carísimo de fiscalizar.
¿Es rival a las 3 de la tarde?$ \text{No: un ciclista más no estorba} $Bien público: el mercado no la provee porque nadie paga.
¿Y a las 8 de la mañana?$ \text{Sí: hay congestión} $Se vuelve recurso común: cada usuario extra demora a los demás.
¿Qué se concluye?$ \text{provisión pública + externalidad positiva} $Además, saca autos de la calle: beneficia a quienes no usan bicicleta.

Momento	Rival	Excluible	Tipo
Tarde, vacía	No	No	Bien público
Hora punta	Sí	No	Recurso común

Lo que se responde: clasificar según rivalidad y exclusión, decir que depende del momento y sacar la consecuencia: provisión pública cuando no hay exclusión, y manejo de la congestión cuando hay rivalidad.

Bienes públicos: Samuelson y el polizón

Sirve para calcular la provisión eficiente de un bien que todos consumen a la vez, como un parque, el alumbrado o un muro de contención frente a marejadas, y mostrar por qué la provisión voluntaria se queda corta.

Un farol en la calle ilumina a todos los vecinos a la vez. Lo eficiente es poner faroles mientras la suma de lo que valora cada vecino supere lo que cuesta uno más. Pero si cada uno pone plata por su cuenta, todos esperan que pague el otro (el polizón) y terminan con menos faroles de los que convienen.

$$\text{Samuelson: }\sum_i TMS_i=TMT\qquad(\text{o }\textstyle\sum_i BMg_i=CMg)$$

La demanda social de un bien público es la suma vertical de las disposiciones a pagar (no horizontal como en los privados).
Provisión voluntaria (cada uno aporta tomando dado el aporte del otro): equilibrio de Nash con subprovisión por el problema del polizón (free rider).
Si los ingresos son muy distintos, el rico puede terminar financiando todo y el pobre aportar cero.
Cuando uno mueve primero (líder), puede aportar menos sabiendo que el otro completa.

El casoModelo 1 de Otoño 2026: Estados Unidos y México financian un muro W = w_US + w_MEX. Cada uno tiene $ U_i=x_i\cdot W $, ingreso 100 y precios 1.

Ingresos 100 y 100
Utilidad $ x_iW $

¿Óptimo social?$ \sum TMS=\frac{x_1}{W}+\frac{x_2}{W}=1\Rightarrow x_1+x_2=W $Con 200 de recursos totales: W* = 100, cada uno aporta 50 (alternativa C).
¿Aporte voluntario simultáneo?$ \max\;(100-w_i)(w_i+w_j)\Rightarrow w_i=\frac{100-w_j}{2} $Simétrico: w = 100/3 cada uno, W = 200/3 (alternativa B): menos que el óptimo.
¿Si EE.UU. tiene 1.000 y México 100?$ w_{US}=500,\;w_{MEX}=0,\;W=500 $El país pobre no aporta nada (alternativa C de la pregunta 4).

Tamaño del muro con ingresos 100 y 100

Óptimo de Samuelson

100

Aporte voluntario

66,7

Cada país ignora el beneficio que su aporte le da al otro.

Lo que se responde: la provisión voluntaria de un bien público siempre queda bajo el óptimo de Samuelson, y la carga se la lleva el que más valora el bien.

Recursos comunes: la tragedia de los comunes

Sirve para analizar pesquerías, napas de agua, bosques o calles congestionadas: recursos rivales que nadie puede excluir. Es la lógica de las cuotas de pesca de la Ley de Pesca y de la tarificación vial.

En una caleta sin reglas, cada pescador sale mientras le convenga a él, sin pensar que su bote le quita peces a los demás. Entran botes hasta que la ganancia de todos se disipa. Lo eficiente sería menos botes, cada uno pescando más. Se arregla poniendo dueño, cuotas o un cobro por entrar.

Cada usuario mira su beneficio promedio y no el costo que le impone a los demás: se sobreexplota el recurso hasta disipar la renta.
Soluciones: cuotas individuales transferibles (como las de la Ley de Pesca), tarificación por congestión, derechos de propiedad, regulación de acceso.

$$\text{Libre acceso: }\frac{B(N)}{N}=c\qquad\text{Óptimo: }B'(N)=c$$

El casoEn una bahía, el valor total de la pesca con N botes es $ B(N)=100N-N^2 $ y operar cada bote cuesta 20. ¿Cuántos botes salen con libre acceso y cuántos convendrían?

Pesca total 100N − N²
Costo por bote 20

¿Libre acceso?$ \frac{B}{N}=100-N=20\Rightarrow N=80 $Entran botes hasta que cada uno gana solo su costo.
¿Óptimo?$ B'(N)=100-2N=20\Rightarrow N^*=40 $El último bote debe agregar al total lo que cuesta.
¿Renta en cada caso?$ N=80:\;0\qquad N=40:\;4.000-1.600-800=1.600 $El libre acceso disipa toda la renta.
¿Cómo se corrige?$ \text{cobro por bote}=40\;\text{ o }\;40\text{ permisos} $Con cobro 40: 100 − N = 60, entran 40.

Renta de la bahía

40 botes

1.600

80 botes

El doble de botes pesca menos valor neto.

Lo que se responde: con libre acceso se iguala el beneficio medio al costo; en el óptimo, el beneficio marginal. La sobreexplotación se corrige con cuotas, cobros o derechos de propiedad.

Información asimétrica

Cuando una parte sabe algo que la otra no. Explica por qué los seguros de salud excluyen a los sanos, por qué la educación puede servir como señal y por qué los contratos traen deducibles y bonos por desempeño.

Selección adversa

Sirve para analizar mercados donde la calidad o el riesgo es información privada antes de contratar: seguros de salud, autos usados, créditos. Explica la discusión de las isapres y por qué el mercado puede desaparecer en parte aunque a todos les convenga transar.

Si el seguro cobra el costo promedio, a los sanos no les conviene comprarlo y se retiran. Queda un grupo más enfermo, el costo promedio sube, el precio sube y se va el siguiente grupo. Es la espiral de Akerlof con los autos usados (los "limones"): lo malo saca a lo bueno del mercado.

Con información completa hay un precio por tipo: cada grupo paga su costo esperado.
Con información asimétrica el asegurador cobra el costo promedio de quienes compran a ese precio. Un equilibrio requiere que ese precio cubra el costo promedio de los que efectivamente compran.
Soluciones: obligatoriedad (seguro universal), selección por el lado del informado (filtrado con menús de deducibles), señalización, garantías, reputación.

El casoOtoño 2022, pregunta 1: saludables, intermedios y enfermizos (un tercio cada uno) valoran el seguro en 2, 6 y 10, y cuestan 1, 3 y 8 a las aseguradoras, que compiten a la Bertrand.

Valoraciones 2, 6, 10
Costos 1, 3, 8

¿Con información completa?$ p=1,\;3,\;8 $Tres precios, uno por grupo: "hay un único precio" es F.
¿Pueden estar los tres con precio único?$ \bar c=\frac{1+3+8}{3}=4>2 $A 4 los saludables no compran: F.
¿Y con intermedios y enfermizos?$ \frac{3+8}{2}=5{,}5\le6 $Existe equilibrio con precio 5,5 que excluye a los sanos: V.
¿Seguro universal obligatorio a precio 4?$ EC: -2,\;+2,\;+6 $La mayoría (dos de tres grupos) gana: V.

Grupo	Valora	Cuesta	¿Compra a 5,5?	Ganancia con seguro obligatorio a 4
Saludables	2	1	No	−2
Intermedios	6	3	Sí	+2
Enfermizos	10	8	Sí	+6

Lo que se responde: la selección adversa deja fuera justamente a los de menor riesgo. La obligatoriedad cubre a todos pero hace que los sanos subsidien a los enfermos.

Señalización (Spence)

Sirve para explicar por qué alguien invierte en algo costoso, como un título o una certificación, aunque no aumente su productividad: para mostrar lo que el otro no puede ver. También explica las garantías largas o la publicidad cara.

Un empleador no sabe quién es hábil. Si estudiar le cuesta menos esfuerzo al hábil, este puede usar el título para distinguirse: lo saca porque le compensa el mejor sueldo, y al no hábil le resulta demasiado caro imitarlo. El título funciona como señal aunque no enseñe nada útil para el trabajo.

Funciona si la señal es más barata para el tipo alto (condición de cruce único: las curvas de indiferencia de los hábiles son más planas en el plano educación-salario).
Equilibrio separador: el tipo bajo elige e = 0 y el alto elige un nivel e* tal que al bajo no le conviene imitarlo: $ w_A-c(e^*)/\theta_B\le w_B $. Cada uno recibe su productividad.
Equilibrio agrupador (mezclador): todos eligen lo mismo y reciben la productividad promedio.
En el modelo puro la educación no sube la productividad: la correlación entre salario y educación es solo señal (Otoño 2022, 2.4: "se explica por la productividad que desarrolla la educación" era F).

Así lo preguntaron · Otoño 2022. Hábiles (productividad 20, prob. 0,4) y no hábiles (10, prob. 0,6), costo de educarse 2e/θ. El salario de un equilibrio mezclador es 0,6·10 + 0,4·20 = 14 ("es $15" era F). "Separador con e = 4 para los hábiles" era F: al no hábil le conviene imitar (20 − 2·4 = 12 > 10). Hace falta e ≥ 5.

El casoCon los números de Otoño 2022: los hábiles producen 20 y los no hábiles 10. Educarse e años le cuesta 2e al no hábil y, para ilustrar, e al hábil. ¿Qué nivel de educación separa a los tipos?

Productividades 20 y 10
Costo no hábil 2e
Costo hábil e

¿Qué impide que el no hábil imite?$ 20-2e^*\le10\Rightarrow e^*\ge5 $Con e = 4 imitar le daría 12 > 10: no separa.
¿Le conviene al hábil educarse 5?$ 20-5=15\ge10 $Sí: gana más que si lo confundieran con un no hábil.
¿Hasta dónde funcionaría?$ 20-e^*\ge10\Rightarrow e^*\le10 $Cualquier e* entre 5 y 10 separa; el más barato es 5.
¿Salario si se agrupan?$ 0{,}6\cdot10+0{,}4\cdot20=14 $Todos reciben el promedio.

Educación del hábil	No hábil si imita	No hábil si no imita	¿Separa?
4	12	10	No
5	10	10	Sí (justo)
6	8	10	Sí

Lo que se responde: el separador exige que imitar no le convenga al tipo bajo. Si te dan un nivel de señal, prueba la condición del tipo bajo antes de responder.

Riesgo moral y agente-principal

Sirve para analizar situaciones en que una acción no observable cambia después de firmar el contrato: el asegurado que se cuida menos, el gerente que no se esfuerza, el vendedor que no busca clientes. Explica los deducibles, los copagos y los bonos por desempeño.

Si tu auto está asegurado al 100%, cerrarlo bien deja de importarte tanto. Y si a un vendedor le pagan lo mismo venda o no venda, se esfuerza menos. Como el que paga no puede ver el cuidado o el esfuerzo, tiene que dejar parte del resultado en manos del otro: un deducible, una comisión o un bono.

Si el esfuerzo no se observa, pagar un sueldo fijo no da incentivos. Pagar según resultados da incentivos pero traslada riesgo al agente averso.
Disyuntiva central: incentivos contra seguro. El contrato óptimo mezcla un fijo con una parte variable.
Herramientas: deducibles y copagos en seguros, bonos y acciones para ejecutivos, monitoreo, salarios de eficiencia (pestaña Economía laboral).

El casoUna aseguradora cubre autos de 100. Si el dueño se cuida (le cuesta el equivalente a 5), la probabilidad de robo es 0,1; si no, 0,3. ¿Qué deducible logra que se cuide?

Valor del auto 100
Costo de cuidarse 5
Prob. de robo 0,1 o 0,3

¿Con seguro completo?$ \text{cuidarse: }-5\qquad\text{no: }0 $No pierde nada si le roban: no se cuida.
¿Con deducible D?$ -5-0{,}1D\;\ge\;-0{,}3D $Cuidarse reduce lo que paga de su bolsillo en caso de robo.
¿Deducible mínimo?$ 0{,}2D\ge5\Rightarrow D\ge25 $Con 25 o más, cuidarse le conviene.
¿Qué gana la aseguradora?$ \text{pago esperado: }0{,}3\cdot100=30\to0{,}1\cdot75=7{,}5 $Puede bajar mucho la prima.

Pago esperado de la aseguradora por auto

Sin deducible

Deducible 25

7,5

Un poco de riesgo para el asegurado cambia su conducta.

Lo que se responde: con riesgo moral el seguro completo elimina el incentivo a cuidarse. El contrato óptimo sacrifica algo de seguro (deducible, comisión) a cambio de incentivos.

Bienestar social, elección social y economía política

Viene del curso de Microeconomía IV. Aparece sobre todo en los ensayos: el teorema del votante mediano con las elecciones de 2025, la elección social y la provisión de bienes públicos.

Funciones de bienestar social

Sirve para elegir entre asignaciones Pareto eficientes, que el criterio de Pareto no ordena. Cada función representa un juicio sobre la equidad, y está detrás de discusiones como la de una reforma tributaria o la focalización de un subsidio.

Pareto dice cuándo se puede mejorar a alguien sin perjudicar a nadie, pero no elige entre repartos donde uno gana y otro pierde. Para eso hay que decidir cuánto importa la igualdad. Al utilitarista solo le importa el total; a Rawls, cómo le va al que está peor.

Criterio	Función	Idea
Utilitarista (Bentham, Harsanyi)	$ W=\sum_i U_i $	Maximizar la suma; indiferente a la distribución
Rawlsiano (maximin)	$ W=\min_i U_i $	Mejorar al que está peor (velo de ignorancia con aversión extrema al riesgo)
Bergson-Samuelson general	$ W(U_1,\dots,U_n) $	Cualquier peso intermedio a la equidad

Harsanyi llega al utilitarismo desde el velo de ignorancia con utilidad esperada; Rawls llega al maximin.
Pobreza absoluta (bajo una línea fija) y relativa (respecto al ingreso típico). Movilidad social: cuánto depende tu posición de la de tus padres.

El casoEl gobierno evalúa tres políticas que dejan a dos grupos con estas utilidades: A (10, 10), B (6, 20) y C (8, 14). Todas son Pareto eficientes. ¿Cuál elige cada criterio?

A (10, 10)
B (6, 20)
C (8, 14)

¿Utilitarista?$ 20,\;26,\;22\Rightarrow B $Mayor suma, aunque el grupo 1 quede con 6.
¿Rawlsiano?$ \min=10,\;6,\;8\Rightarrow A $Mejor situación para el que está peor.
¿Uno intermedio, $ W=\sqrt{U_1}+\sqrt{U_2} $?$ 6{,}32,\;6{,}92,\;6{,}57\Rightarrow B $Con poca aversión a la desigualdad sigue ganando B.

Política	Suma	Mínimo	Elige
A (10, 10)	20	10	Rawls
B (6, 20)	26	6	Utilitarista
C (8, 14)	22	8	Ninguno

Lo que se responde: el criterio de Pareto no ordena estas tres. La función de bienestar social es la que incorpora el juicio de equidad, y criterios distintos eligen políticas distintas.

Agregación de preferencias: Condorcet y Arrow

Sirve para mostrar que no existe un método perfecto para convertir preferencias individuales en una decisión colectiva, y por qué en un concejo o un congreso quien fija el orden de las votaciones tiene tanto poder.

Tres amigos votan a pares dónde comer. La pizza le gana al sushi, el sushi a la hamburguesa y la hamburguesa a la pizza: el grupo no tiene una preferencia ordenada aunque cada uno sí la tenga. Entonces gana lo que se vote al final, y el que arma el orden decide. Arrow mostró que ninguna regla razonable evita del todo estos problemas.

Paradoja de Condorcet: con votación por mayoría de a pares las preferencias colectivas pueden ser cíclicas (A gana a B, B a C y C a A). Quien controla la agenda decide el resultado.
Teorema de imposibilidad de Arrow: con tres o más alternativas, ninguna regla cumple a la vez dominio universal, Pareto, independencia de alternativas irrelevantes y no dictadura.
Si las preferencias son de un solo pico en una dimensión, el ciclo desaparece y gana la alternativa del votante mediano.

El casoTres concejales votan entre un parque (A), un consultorio (B) y una ciclovía (C). Sus órdenes: concejal 1 A > B > C, concejal 2 B > C > A, concejal 3 C > A > B. ¿Qué gana?

Concejal 1 A, B, C
Concejal 2 B, C, A
Concejal 3 C, A, B

¿A contra B?$ \text{1 y 3 prefieren A}\Rightarrow A $2 votos contra 1.
¿B contra C?$ \text{1 y 2 prefieren B}\Rightarrow B $2 contra 1.
¿C contra A?$ \text{2 y 3 prefieren C}\Rightarrow C $Ciclo: A > B > C > A.
¿Quién decide entonces?$ \text{agenda: (B vs C), luego contra A}\Rightarrow A $Con otra agenda gana B o C: lo que se vota al final siempre gana.

Orden de votación	Primera ronda	Ganador final
B vs C, luego A	B	A
A vs C, luego B	C	B
A vs B, luego C	A	C

Lo que se responde: la mayoría de a pares puede producir ciclos, y entonces el resultado depende de la agenda. Es una manifestación del teorema de Arrow.

Teorema del votante mediano

Sirve para predecir que, bajo ciertas condiciones, los candidatos convergen al centro, y para explicar por qué en una segunda vuelta los discursos se moderan. Fue el Tema 1 del ensayo de Otoño 2026.

Si los votantes se ordenan de izquierda a derecha y cada uno vota por el candidato más cercano, el que se pone justo en el medio no puede perder: siempre tiene a la mitad de un lado más los que están entre él y su rival. Por eso los dos candidatos terminan pareciéndose.

Supuestos: una sola dimensión, preferencias de un solo pico, dos candidatos, votación por mayoría, todos votan, candidatos que solo quieren ganar (Downs).
Predicción: convergencia de plataformas hacia la preferencia del votante mediano.
Por qué puede fallar: varios candidatos (primera vuelta), preferencias de varios picos o varias dimensiones, voto voluntario (vota el más extremo o movilizado), candidatos ideológicos (modelo ciudadano-candidato), financiamiento de campañas y lobbies que pesan más que el votante mediano.
En una segunda vuelta con dos candidatos el modelo predice mejor que en una primera vuelta fragmentada.

Así lo preguntaron · ensayo Otoño 2026. Con la tabla de las presidenciales de 2025 (Kast, Jara, Parisi, Kaiser, Matthei y su ideología W-nominate) pedían: qué dice el TVM sobre convergencia, si se observa en primera y segunda vuelta, y cómo afectan las preferencias, el voto obligatorio, el número de candidatos y el financiamiento de campañas. La pauta daba 20% a cada punto.

El casoCinco votantes tienen su ideal en 1, 3, 5, 7 y 9 en una escala de 0 a 10, y votan por el candidato más cercano. El candidato A está en 3 y B en 7. ¿Qué le conviene a B?

Votantes 1, 3, 5, 7, 9
Mediano 5
A 3 · B 7

¿Votos con A en 3 y B en 7?$ A:\{1,3\}\quad B:\{7,9\}\quad 5:\text{ indiferente} $Empate; el votante 5 decide al azar.
¿Si B se mueve a 5?$ A:\{1,3\}\quad B:\{5,7,9\} $B gana 3 a 2.
¿Qué responde A?$ A\to5 $Si no se mueve al centro, pierde.
¿Equilibrio?$ A=B=5 $Ambos en el ideal del votante mediano: convergencia.

Posiciones	Votos de A	Votos de B	Resultado
A 3, B 7	2 + ½	2 + ½	Empate
A 3, B 5	2	3	Gana B
A 5, B 5	2,5	2,5	Equilibrio

Lo que se responde: con una dimensión, preferencias de un pico y dos candidatos, ambos convergen al mediano. Con más candidatos, voto voluntario o varias dimensiones, la predicción se debilita.

Otros modelos de economía política

Sirve para explicar por qué se aprueban políticas que no maximizan el bienestar: aranceles que protegen a pocos, subsidios a grupos organizados, o programas pensados para votantes indecisos. Son el argumento central de los ensayos sobre lobby y financiamiento de campañas.

Cuando una política le da mucho a pocos y le quita poco a muchos, los pocos se organizan y los muchos ni se enteran. Por eso los grupos chicos y concentrados consiguen más de lo que su tamaño sugiere. Y los candidatos le hablan más a los que pueden cambiar su voto que a los que ya decidieron.

Votación probabilística: los candidatos ponderan más a los grupos con votantes más sensibles a las propuestas (los "swing"), no a los más numerosos.
Lobbies: grupos organizados intercambian contribuciones por políticas. Los grupos pequeños y concentrados se organizan mejor que los grandes y difusos (Olson).
Paradoja del voto: la probabilidad de ser decisivo es casi cero, así que votar se explica por deber cívico, expresión o costos bajos.
Política económica respecto a economía política: la primera pregunta qué conviene hacer, la segunda por qué se hace lo que se hace.

El casoUn arancel al azúcar le da 1 millón de pesos al año a cada uno de los 100 productores nacionales y le cuesta 15 pesos al año a cada uno de 10 millones de consumidores. ¿Se aprueba?

Productores 100 × $1.000.000
Consumidores 10 millones × $15

¿Ganancia total de los productores?$ 100\cdot1.000.000=100\text{ millones} $Concentrada: a cada uno le importa mucho.
¿Pérdida total de los consumidores?$ 10.000.000\cdot15=150\text{ millones} $Mayor que la ganancia: el arancel destruye valor.
¿Quién se organiza?$ \$1.000.000\text{ por cabeza contra }\$15 $A ningún consumidor le conviene gastar tiempo en oponerse por 15 pesos.

Millones de pesos al año

Pierden consumidores

150

Ganan productores

100

Pierde la sociedad, pero gana quien sí se organiza.

Lo que se responde: la lógica de la acción colectiva de Olson explica políticas ineficientes: beneficios concentrados y costos difusos.

Economía laboral

El mercado del trabajo visto con oferta y demanda, más las instituciones que lo alejan de la competencia. Aparece en casi todos los ensayos de Micro: salario mínimo, jornada de 40 horas, subsidio al empleo, informalidad, inteligencia artificial. La notación sigue a Microeconomía III (Contreras y Puentes); la oferta de trabajo está en la pestaña Ocio-consumo y Heckman en Variables binarias y censuradas.

Demanda de trabajo y equilibrio

Sirve para predecir salario y empleo de equilibrio y cómo cambian ante shocks de productividad, impuestos o tecnología. Es la herramienta para discutir qué pasará con el empleo cuando llegue la inteligencia artificial a un sector.

Una empresa contrata a una persona más mientras lo que esa persona agrega a las ventas supere su sueldo. Por eso la demanda de trabajo es el valor de lo que produce el último trabajador. Si una tecnología hace más productivo al trabajador, la demanda sube; si lo reemplaza, baja.

$$\text{Demanda de corto plazo: }w=P\cdot PMg_L=VPMg_L$$

La demanda de trabajo es la curva del valor del producto marginal. Se desplaza con el precio del producto, la productividad y el capital.
Largo plazo: más elástica que la de corto, porque también se ajusta el capital (efecto sustitución y efecto escala).
Reglas de Marshall: la elasticidad de la demanda de trabajo $ \eta_{L,w} $ depende de la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo (σ), la elasticidad precio de la demanda del bien final (η), la elasticidad de la oferta de capital ($ \epsilon_{K,r} $) y la participación del trabajo en el costo (α).
1. Más σ, más elástica: es más fácil reemplazar trabajadores por máquinas.
2. Más η, más elástica: un alza de salario que sube el precio hace caer más las ventas.
3. Más $ \epsilon_{K,r} $, más elástica: el capital para reemplazar trabajo sale barato.
4. Más α sube la elasticidad solo si $ \eta>\sigma $ (el signo de $ \partial\eta_{L,w}/\partial\alpha $ es el de $ \eta-\sigma $). Marshall creía que siempre la subía, y no es así.
Por eso un sindicato tiene más poder donde σ y η son bajos.
Tecnología que sustituye trabajo (automatización, IA en tareas rutinarias): baja la demanda de esos trabajadores, cae su salario y empleo. Tecnología que complementa: sube su productividad marginal y su salario.

El casoUn estudio de abogados vende cada informe a 2 y el producto marginal de un abogado es $ 50-L $. El sueldo de mercado es 40. Llega una herramienta de IA que complementa a los abogados y sube su producto marginal a $ 60-L $. ¿Cuántos contrata antes y después?

Precio 2
PMg 50 − L → 60 − L
Salario 40

¿Demanda de trabajo?$ VPMg=2(50-L)=100-2L $Lo que vale el informe extra del último abogado.
¿Contratación inicial?$ 100-2L=40\Rightarrow L=30 $Contrata hasta que el último vale su sueldo.
¿Con la IA que complementa?$ 120-2L=40\Rightarrow L=40 $La demanda se desplaza a la derecha: 10 abogados más.
¿Y si la IA los sustituyera?$ PMg=40-L\Rightarrow 80-2L=40\Rightarrow L=20 $La demanda cae: 10 abogados menos.

Abogados contratados

IA complementa

Sin IA

IA sustituye

El efecto de la tecnología depende de si sube o baja el producto marginal.

Lo que se responde: la demanda de trabajo es el VPMg. Una tecnología complementaria la desplaza a la derecha (más empleo o salario); una sustituta, a la izquierda.

Salario mínimo

Sirve para predecir el efecto de un salario mínimo según la estructura del mercado. Fue ensayo en Otoño 2022 (alza a $500.000) y Modelo Empírico en Otoño 2023 (México 2012), y es una discusión que vuelve cada año con el reajuste.

Si el mínimo queda sobre el salario de equilibrio en un mercado competitivo, más gente quiere trabajar a ese sueldo y las empresas quieren contratar menos: aparece desempleo. Los que conservan el trabajo ganan más; los que lo pierden, pierden. El resultado cambia si hay un solo empleador o un sector informal.

Mercado	Efecto de un mínimo sobre el de equilibrio
Competitivo	Baja el empleo (exceso de oferta: desempleo); sube el salario de quienes mantienen el trabajo
Monopsonio	Si queda entre el salario de monopsonio y el competitivo, sube empleo y salario
Con sector informal	Desplaza trabajadores al sector no cubierto, donde baja el salario

Monopsonio: un solo empleador que maximiza $ pX(L)-w(L)L $ contrata donde $ VPMg_L=w\left(1+\frac{1}{\epsilon_{L,w}}\right) $, con $ \epsilon_{L,w} $ la elasticidad de la oferta de trabajo. Paga menos que el producto de su último trabajador y contrata menos que en competencia. Un mínimo entre ese salario y el competitivo sube a la vez salario y empleo.
El efecto es mayor donde el mínimo "muerde": trabajadores jóvenes, poco calificados y regiones de menor salario.
Evidencia: efectos sobre empleo pequeños para alzas moderadas (Card y Krueger), más grandes cuando el mínimo es alto respecto al salario mediano.

El casoEn un mercado competitivo de trabajo poco calificado, la demanda es $ w=100-L $ y la oferta $ w=20+L $ (miles de personas, salario en miles de pesos). Se fija un mínimo de 70.

Demanda w = 100 − L
Oferta w = 20 + L
Mínimo 70

¿Equilibrio sin mínimo?$ 100-L=20+L\Rightarrow L=40,\;w=60 $El mínimo de 70 está sobre el equilibrio: es efectivo.
¿Cuántos contratan las empresas a 70?$ L^d=30 $10 mil empleos menos.
¿Cuántos quieren trabajar a 70?$ L^s=50 $Desempleo de 50 − 30 = 20 mil.
¿Quién gana?$ 30\cdot(70-60)=300 $Masa salarial extra de los que siguen empleados; los 10 mil despedidos pierden su sueldo.

Miles de personas a salario 70

Quieren trabajar

Empleo sin mínimo

Empleo con mínimo

En competencia, el mínimo efectivo crea desempleo.

Lo que se responde: en competencia, un mínimo sobre el equilibrio baja el empleo a la cantidad demandada y crea desempleo. En monopsonio el resultado puede ser el contrario (pestaña Monopolio).

Capital humano y diferencias de salarios

Sirve para explicar por qué ganan distinto trabajadores que hacen trabajos distintos, y para decidir si conviene estudiar un año más o una carrera más larga. Es la base de los estudios de retorno a la educación en Chile.

Estudiar es una inversión: hoy pagas matrícula y dejas de ganar el sueldo que tendrías trabajando, a cambio de ganar más el resto de tu vida. Conviene si lo que ganas de más, traído a valor presente, supera lo que te cuesta. Por eso conviene más estudiar joven que viejo: tienes más años para recuperarlo.

Capital humano (Becker): la educación es una inversión. Se estudia un año más si el valor presente del mayor salario supera el costo (matrícula más el salario que se deja de ganar).
Ecuación de Mincer: $ \ln w=\beta_0+\beta_1 S+\beta_2 Exp+\beta_3 Exp^2+u $. $ \beta_1 $ es el retorno a un año de escolaridad (aproximadamente en %).
Señalización: parte del retorno a la educación puede ser señal de habilidad y no productividad (pestaña Información asimétrica).

El casoUna persona puede trabajar ya por 6 millones al año o estudiar un año más (matrícula de 3 millones) y luego ganar 10% más durante 40 años. La tasa de descuento es 5%. ¿Le conviene?

Sueldo actual 6 millones
Matrícula 3 millones
Aumento 10% por 40 años
r 5%

¿Costo total de estudiar?$ 3+6=9\text{ millones} $La matrícula más el sueldo que deja de ganar: el costo de oportunidad pesa más.
¿Beneficio anual?$ 0{,}1\cdot6=0{,}6\text{ millones} $El retorno de Mincer del 10%.
¿Valor presente del beneficio?$ 0{,}6\cdot\frac{1-1{,}05^{-40}}{0{,}05}=0{,}6\cdot17{,}16\approx10{,}3 $Una anualidad por 40 años.
¿Conviene?$ 10{,}3>9\Rightarrow\text{sí} $Con solo 20 años de vida laboral restante, el beneficio sería 7,5: no convendría.

Millones de pesos, en valor presente

Beneficio, 40 años

10,3

Costo

Beneficio, 20 años

7,5

Estudiar conviene más mientras más años quedan para recuperarlo.

Lo que se responde: se estudia si el valor presente del aumento de salario supera la matrícula más el salario sacrificado. En Mincer, β₁ es ese retorno porcentual por año de escolaridad.

Diferencias compensatorias

Sirve para explicar por qué trabajadores con la misma educación ganan distinto según las condiciones del puesto: minería en altura, turnos de noche, trabajos riesgosos. Salió como pregunta completa de verdadero y falso en Otoño 2023 (salarios hedónicos) y es la base para valorar una vida estadística en políticas de seguridad.

Nadie trabaja en una faena a 4.000 metros por el mismo sueldo que en una oficina en Santiago: el riesgo o la incomodidad se paga. El salario hace dos trabajos a la vez: equilibra cuánta gente quiere trabajar y también compra condiciones laborales. Los trabajadores que menos temen al riesgo terminan en los puestos riesgosos, y los que más lo temen, en los seguros.

$$U=U(w,p),\ U_w>0,\ U_p<0\qquad \Pi=\Pi(w,p),\ \Pi_w<0,\ \Pi_p>0\qquad\text{equilibrio: }\left.\frac{dw}{dp}\right|_{U}=\left.\frac{dw}{dp}\right|_{\Pi}$$

Trabajador: sus curvas de isoutilidad en el plano (p, w) suben, porque para aceptar más riesgo pide más salario. La pendiente es la prima por riesgo que exige, y depende de su aversión.
Firma: reducir el riesgo le cuesta, con costos crecientes, así que sus curvas de isobeneficio también suben. Con competencia, se ubica en la de beneficio cero.
Equilibrio: cada trabajador elige el punto de la isobeneficio donde ella es tangente a su isoutilidad. La envolvente de esos puntos es la curva hedónica H: lo que el mercado paga en promedio por cada unidad de riesgo.
Es un equilibrio de autoselección (sorting) y de matching: los menos aversos van a los puestos más riesgosos.
La prima puede ser negativa: un trabajo agradable o con prestigio paga menos en dinero porque paga en condiciones.
Si el trabajador no conoce el riesgo real (información asimétrica), la prima queda corta y aparece espacio para regulación de seguridad.

El casoVerdadero y falso de Otoño 2023. Una firma y una trabajadora acuerdan salario w y riesgo p. Beneficio de la firma $ \Pi(w,p)=p^{\beta}-w $ y utilidad de la trabajadora $ u(w,p)=w-\alpha\ln p $, con p en el eje x y w en el eje y. Para ver números se usa α = 1 y β = 1/2.

Π p^β − w
u w − α ln p
Competencia Π = 0

¿Pendiente de la isobeneficio?$ 0=\beta p^{\beta-1}dp-dw\Rightarrow\frac{dw}{dp}=\beta p^{\beta-1} $Afirmación 1.1: V.
¿Pendiente de la curva de indiferencia?$ 0=dw-\frac{\alpha}{p}dp\Rightarrow\frac{dw}{dp}=\frac{\alpha}{p} $Es positiva y depende de p, no es −α. Afirmación 1.2: F.
¿Puede haber equilibrio con p = 0 y w > 0?$ \Pi=0^{\beta}-w<0 $La firma perdería plata: no es equilibrio competitivo. Afirmación 1.3: F.
¿Salario de equilibrio?$ \frac{\alpha}{p}=\beta p^{\beta-1}\Rightarrow p^{\beta}=\frac{\alpha}{\beta},\ w=p^{\beta}=\frac{\alpha}{\beta} $Con α = 1 y β = 1/2: p = 4 y w = 2. Afirmación 1.4: V.

Afirmación	Lo que dice	Veredicto
1.1	Pendiente de la isobeneficio $ \beta p^{\beta-1} $	V
1.2	Pendiente de la indiferencia −α	F (es α/p)
1.3	Equilibrio con w > 0 y riesgo cero	F
1.4	Salario de equilibrio α/β	V

Lo que se responde: en el plano (p, w) las dos curvas tienen pendiente positiva. El equilibrio competitivo está en Π = 0 donde la isoutilidad es tangente a la isobeneficio; esa tangencia da la prima por riesgo.

Sindicatos y salarios de eficiencia

Sirve para explicar por qué los salarios no siempre son los de oferta y demanda: sindicatos que negocian salario y empleo, y empresas que pagan sobre el mercado por su cuenta. Explica parte del desempleo que persiste aunque la economía crezca.

A veces a la empresa le conviene pagar más de lo necesario: así al trabajador le duele perder el puesto y se esfuerza, o no se va a la competencia. Eso deja gente afuera que trabajaría por menos: desempleo involuntario. Un sindicato logra algo parecido negociando: sube el salario de los que quedan, aunque algunos afiliados se queden sin puesto.

Salarios de eficiencia: la empresa paga sobre el equilibrio para que los trabajadores se esfuercen (Shapiro-Stiglitz: perder el trabajo cuesta más), roten menos o atraer mejores postulantes. Genera desempleo involuntario.
Sindicato (Contreras): maximiza la utilidad esperada de un afiliado representativo, $ E[U]=\frac{L}{M}(w-\delta)+\frac{M-L}{M}b $, con M afiliados, δ la desutilidad del trabajo y b el ingreso si queda desempleado. Su salario de reserva es $ \delta+b $.
Sindicato monopólico: el sindicato fija w y la firma elige L sobre su curva de demanda (líder y seguidor, "derecho a administrar"). Sale un salario mayor y un empleo menor que en competencia. Prefiere demandas inelásticas (reglas de Marshall), y por eso afiliarse conviene más donde la demanda de trabajo es inelástica.
Negociación eficiente: si negocian w y L juntos, terminan en la curva de contratos, donde la isobeneficio es tangente a la curva de indiferencia del sindicato. Esos puntos quedan a la derecha de la demanda: más empleo para el mismo salario.
Los sindicatos solo pueden subir salarios donde la firma tiene rentas; con libre entrada y beneficio normal, no hay nada que repartir.
Con un empleador monopsonista, un sindicato puede subir a la vez salario y empleo (monopolio bilateral).
Desempleo: friccional (búsqueda), estructural (calce de habilidades), cíclico. El salario de reserva y el seguro de desempleo afectan la duración de la búsqueda.

Así lo preguntaron · ensayo Otoño 2026. Inteligencia artificial y mercado laboral: (i) efecto en salario y empleo cuando la IA sustituye trabajo, (ii) cuando lo complementa, con el modelo ocio-consumo para ver si el trabajador complementado trabaja más o menos horas, (iii) quiénes ganan y quiénes pierden, (iv) una política pública fundamentada. Se arma con esta pestaña y Ocio-consumo.

El casoUn trabajador que flojea se ahorra un esfuerzo que valora en 2 por período. Si flojea, lo descubren con probabilidad 0,5 y lo despiden; afuera consigue un sueldo de 6. ¿Qué sueldo mínimo debe pagar la empresa para que no flojee?

Costo del esfuerzo 2
Prob. de ser descubierto 0,5
Sueldo afuera 6

¿Cuánto gana si se esfuerza?$ w-2 $Conserva el trabajo seguro.
¿Y si flojea?$ 0{,}5\cdot w+0{,}5\cdot6 $Con 50% sigue en la empresa sin esforzarse; con 50% lo echan.
¿Condición de no flojear?$ w-2\ge0{,}5w+3\Rightarrow w\ge10 $Debe pagar 10, sobre el sueldo de afuera más el esfuerzo (8).
¿Consecuencia?$ 10>8 $Hay gente que trabajaría por 8 y no la contratan: desempleo involuntario.

Sueldo por período

Salario de eficiencia

Afuera + esfuerzo

Sueldo de afuera

La empresa paga una prima para que perder el puesto duela.

Lo que se responde: con esfuerzo no observable la empresa paga sobre el salario que vaciaría el mercado. Eso explica desempleo involuntario aunque haya gente dispuesta a trabajar por menos.

Discriminación: Becker y discriminación estadística

Sirve para analizar brechas salariales entre grupos con la misma productividad (mujeres y hombres, chilenos y migrantes) y saber qué políticas las corrigen. Es tema de ensayo frecuente y aparece en los modelos empíricos con interacciones por sexo, como la ecuación de Mincer de Primavera 2024.

Hay dos razones muy distintas para pagarle menos a alguien de un grupo. Una es el gusto: al empleador, a los compañeros o a los clientes les molesta, y eso le cuesta plata a la empresa que discrimina. La otra es la falta de información: el empleador no sabe cuán bueno eres y usa el promedio de tu grupo para adivinarlo. La primera tiende a desaparecer con competencia; la segunda, no.

$$\text{Becker: el empleador actúa como si }B\text{ costara }w_B(1+d)\qquad\text{Estadística: }w_i=\alpha T_i+(1-\alpha)\bar T_g,\ \ \alpha=\frac{\sigma^2_q}{\sigma^2_q+\sigma^2_\epsilon}$$

Del empleador (Becker, 1957): con $ q=L_A+L_B $ los grupos son sustitutos perfectos y la firma contrata solo uno. Si todos discriminan igual, $ w_A=w_B(1+d^*) $. Pero no es sostenible: una firma que no discrimina contrata B más barato, gana más y crece. Con competencia y libre entrada, desaparece.
De los compañeros: los A exigen más por trabajar con B. Resultado: segregación (firmas solo de A o solo de B), sin brecha salarial, y sin fuerza de mercado que la elimine.
De los clientes: el precio percibido es $ p(1+d) $ si atiende un B. Si la firma puede ponerlo donde no se ve, no hay brecha; si no, cae la demanda por B y aparece brecha.
Estadística: sin preferencias, solo información imperfecta. El empleador ve un test $ T_i=q_i+\epsilon_i $ y paga la productividad esperada. Si el test es ruidoso (α bajo), pesa el promedio del grupo. Dos personas con el mismo puntaje ganan distinto si sus grupos tienen promedios distintos.
Si el test predice mejor para un grupo (α mayor), en ese grupo los buenos ganan más y los malos menos; en el otro, todos ganan parecido al promedio.
En una regresión de Mincer, una dummy de sexo y su interacción con educación miden si la brecha está en el nivel o en el retorno; la parte de la brecha que no explican las características se atribuye a discriminación.

El casoUn empleador evalúa a postulantes de dos grupos con un test. El promedio del grupo A es 60 y el del grupo B es 50. El test es igual de ruidoso para ambos, con α = 0,5. Dos postulantes sacan 70. Además, otro empleador discrimina por gusto con d = 0,25 y paga 1.000 a los A. (Números ilustrativos.)

T̄_A 60
T̄_B 50
α 0,5
d 0,25

¿Cuánto le paga al postulante A?$ 0{,}5\cdot70+0{,}5\cdot60=65 $Mitad su puntaje, mitad el promedio de su grupo.
¿Y al postulante B, con el mismo 70?$ 0{,}5\cdot70+0{,}5\cdot50=60 $Gana 5 menos con el mismo puntaje: discriminación estadística, sin ningún gusto por discriminar.
¿Qué salario de B deja indiferente al empleador de Becker?$ 1.000=w_B(1{,}25)\Rightarrow w_B=800 $Solo contrataría B si cuestan 800 o menos.
¿Sobrevive esa brecha?$ q=L_A+L_B $Una firma sin prejuicio contrata B a 800 con la misma productividad, gana 200 más por trabajador y desplaza a la que discrimina.

Salario con el mismo puntaje de 70

Postulante A

Postulante B

Con un test ruidoso, el promedio del grupo pesa en el salario de cada persona.

Lo que se responde: la discriminación por gusto del empleador cuesta beneficios y la competencia tiende a eliminarla; la de compañeros genera segregación. La estadística nace de información imperfecta y puede persistir; se reduce con mejores señales individuales.

Regresión lineal y MCO

Econometría I. Todos los años hay una pregunta de verdadero y falso con una ecuación para estimar, y el Modelo Empírico es una tabla de regresión que hay que leer. Esta pestaña es la base para interpretar coeficientes.

El modelo y el estimador

Sirve para estimar cómo cambia en promedio una variable cuando cambia otra, manteniendo constantes las demás que se incluyen. Es la herramienta con que se estima el retorno a la educación, el efecto de un programa social o la elasticidad de una demanda.

Tienes una nube de puntos (horas de estudio y nota) y buscas la recta que pasa más cerca de todos. MCO elige la recta que hace más chica la suma de las distancias al cuadrado entre cada punto y la recta. La pendiente dice cuánto sube la nota, en promedio, por cada hora extra.

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\dots+\beta_kx_{ki}+u_i\qquad\hat\beta=(X'X)^{-1}X'y$$

$$\text{Simple: }\hat\beta_1=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\frac{\widehat{Cov}(x,y)}{\widehat{Var}(x)}\qquad\hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x$$

MCO minimiza la suma de residuos al cuadrado. Los residuos suman cero y no están correlacionados con las x (son ortogonales).
La recta estimada pasa siempre por el punto de promedios $ (\bar x,\bar y) $.
Geometría: $ \hat y $ es la proyección de y en el espacio generado por las columnas de X.

El casoCinco estudiantes reportan sus horas de estudio semanales y su nota: (2; 3,0), (4; 4,0), (6; 4,4), (8; 5,4) y (10; 6,2). Estima la recta por MCO.

Horas 2, 4, 6, 8, 10
Notas 3,0 · 4,0 · 4,4 · 5,4 · 6,2

¿Promedios?$ \bar x=6\qquad\bar y=4{,}6 $La recta pasará por (6; 4,6).
¿Covarianza y varianza (sumas)?$ \sum(x-\bar x)(y-\bar y)=15{,}6\qquad\sum(x-\bar x)^2=40 $Desvíos de x: −4, −2, 0, 2, 4.
¿Pendiente y constante?$ \hat\beta_1=\frac{15{,}6}{40}=0{,}39\qquad\hat\beta_0=4{,}6-0{,}39\cdot6=2{,}26 $Cada hora extra se asocia con 0,39 puntos más de nota.
¿Predicción con 10 horas?$ \hat y=2{,}26+0{,}39\cdot10=6{,}16 $Residuo: 6,2 − 6,16 = 0,04.

Horas	Nota	Predicha	Residuo
2	3,0	3,04	−0,04
4	4,0	3,82	0,18
6	4,4	4,60	−0,20
8	5,4	5,38	0,02
10	6,2	6,16	0,04

Lo que se responde: β̂₁ = Cov(x, y)/Var(x) y β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄. Los residuos suman cero; que β̂₁ sea positivo es una asociación, no necesariamente un efecto causal.

Supuestos y propiedades (Gauss-Markov)

Sirve para saber cuándo MCO entrega el efecto verdadero en promedio y cuándo es el mejor estimador posible. Es la lista que hay que revisar antes de creerle a cualquier tabla de regresión.

MCO acierta en promedio si lo que dejaste fuera de la regresión no está relacionado con tus variables: ese es el supuesto que importa. Los demás supuestos no cambian el promedio del estimador, sino qué tan preciso es y si los errores estándar que entrega el programa son confiables.

Supuesto	Si falla
1. Lineal en parámetros	Mala especificación
2. Muestra aleatoria	Sesgo de selección
3. Sin multicolinealidad perfecta	No se puede estimar
4. Media condicional cero: $ E[u\|X]=0 $	Sesgo (endogeneidad): el problema grave
5. Homocedasticidad y sin autocorrelación	Sigue insesgado, pero ya no es el más eficiente y los errores estándar habituales están mal

Con 1 a 4: MCO es insesgado y consistente. Con 1 a 5: es MELI (mejor estimador lineal insesgado).
Con normalidad de u: los tests t y F son exactos en muestras pequeñas. En muestras grandes valen igual por el teorema central del límite.

$$Var(\hat\beta_j)=\frac{\sigma^2}{STC_j(1-R_j^2)}$$

STC_j variación total de $ x_j $: poca variación da coeficientes imprecisos

R²_j qué tanto explican las otras x a $ x_j $: multicolinealidad

Así lo preguntaron · Primavera 2024. "Como todos los trabajadores tienen escolaridad media completa o incompleta, es probable que α₃ (escolaridad) sea poco o nada significativo" fue V: poca variación en la variable implica una varianza grande del estimador.

El casoUn efecto verdadero de 1 se estima con σ² = 4 en tres muestras distintas. ¿En cuál será significativo?

σ² 4
Efecto 1
Muestras A, B, C

¿Muestra A: poca variación de x (STC = 10), sin colinealidad?$ Var=\frac{4}{10}=0{,}4,\;ee=0{,}63,\;t=1{,}58 $No significativo: el caso de Primavera 2024.
¿Muestra B: STC = 40, sin colinealidad?$ Var=\frac{4}{40}=0{,}1,\;ee=0{,}32,\;t=3{,}16 $Con más variación de x, significativo.
¿Muestra C: STC = 40 pero R²ⱼ = 0,75?$ Var=\frac{4}{40\cdot0{,}25}=0{,}4,\;t=1{,}58 $La colinealidad le quita la precisión que daba la variación.

Estadístico t del mismo efecto

B: mucha variación

3,16

A: poca variación

1,58

C: colinealidad

1,58

El efecto es el mismo; lo que cambia es la precisión.

Lo que se responde: la varianza de β̂ⱼ baja con más variación de xⱼ y sube con la colinealidad y con σ². Un coeficiente no significativo puede ser un efecto real medido con poca precisión.

Interpretar coeficientes

Sirve para la pregunta más común del Modelo Empírico: "¿cuál es la interpretación correcta del coeficiente?". También para leer bien cualquier estudio que diga "un año más de educación sube el salario en 10%".

Un coeficiente se lee según cómo entran las variables. Si y está en logaritmo, el efecto es en porcentaje; si x está en logaritmo, lo que cambia en 1% es x. Si las dos están en log, es una elasticidad. Y con una interacción, el coeficiente dice cuánto cambia un efecto para un grupo, no el efecto en sí.

Modelo	Interpretación de β₁
$ y=\beta_0+\beta_1x $	Si x sube en 1, y sube en β₁ unidades
$ \ln y=\beta_0+\beta_1x $	Si x sube en 1, y sube aprox. 100·β₁ % (exacto: $ 100(e^{\beta_1}-1) $%)
$ y=\beta_0+\beta_1\ln x $	Si x sube 1%, y sube β₁/100 unidades
$ \ln y=\beta_0+\beta_1\ln x $	Elasticidad: si x sube 1%, y sube β₁ %
Dummy D en $ \ln y $	El grupo D = 1 tiene y aprox. 100·β₁ % mayor que el grupo base
Con $ x^2 $	Efecto marginal $ \beta_1+2\beta_2x $: depende del nivel de x

Interacción $ \beta_3(D\times x) $: cuánto cambia el efecto de x cuando D = 1. El efecto de x para el grupo D = 1 es $ \beta_1+\beta_3 $.
Para saber si un efecto es distinto entre niños y niñas, se agrega la dummy de sexo y su interacción con el tratamiento (Otoño 2024, 3.4: V).

Así lo preguntaron · Otoño 2026, Modelo Empírico. En $ \ln(wage)=\alpha+\beta_1Rep+\beta_2Icfes+\beta_3(Rep\times\delta)+\beta_4(Icfes\times\delta)+\dots $, con δ = existe el examen de egreso: β₃ ≈ −0,041 significa que el examen reduce el retorno a la reputación de la universidad en aproximadamente 4,1% por punto de reputación (alternativa A), no que reduzca el salario promedio. Para el efecto total de subir la reputación después del examen se necesitan β₁ y β₃.

El casoUna regresión de salarios entrega $ \ln w=1{,}2+0{,}08\,S+0{,}03\,Exp-0{,}0005\,Exp^2-0{,}15\,M+0{,}02\,(S\times M) $, con S años de escolaridad, Exp experiencia y M = 1 si es mujer. Interpreta cada coeficiente.

S 0,08
Exp 0,03 · Exp² −0,0005
M −0,15
S × M 0,02

¿Un año más de escolaridad (hombres)?$ \approx8\%\;\;(\text{exacto }100(e^{0{,}08}-1)=8{,}3\%) $Modelo log-nivel.
¿Y para mujeres?$ 0{,}08+0{,}02=0{,}10\Rightarrow\approx10\% $La interacción dice que el retorno es 2 puntos mayor para ellas.
¿Efecto de un año de experiencia con 10 años?$ 0{,}03+2(-0{,}0005)(10)=0{,}02\Rightarrow2\% $El retorno cae con la experiencia (perfil cóncavo).
¿Brecha de género con 12 años de escolaridad?$ -0{,}15+0{,}02\cdot12=0{,}09 $Con 12 años, las mujeres ganan aprox. 9% más; con 0 años, 15% menos. No se lee M sola.

Pregunta	Cálculo	Respuesta
Retorno a S, hombres	β_S	≈ 8%
Retorno a S, mujeres	β_S + β_S×M	≈ 10%
Experiencia con 10 años	β₁ + 2β₂·10	≈ 2%

Lo que se responde: con logaritmo en y, multiplica por 100 para leer porcentajes. Con interacciones o cuadrados, el efecto depende de otra variable: nunca leas un coeficiente solo.

Bondad de ajuste e inferencia

Sirve para decidir si un coeficiente es distinto de cero y cuánto explica el modelo. Es lo que separa un hallazgo de una casualidad en cualquier estudio empírico.

Un coeficiente estimado siempre tiene ruido. El estadístico t mide cuántos errores estándar está lejos de cero: si está a más de 2 en una muestra grande, es poco probable que el efecto verdadero sea cero. El R² dice qué parte de la variación de y explica el modelo, y no dice nada sobre si los coeficientes están bien.

$$R^2=1-\frac{SRC}{STC}\qquad \bar R^2=1-\frac{SRC/(n-k-1)}{STC/(n-1)}\qquad t=\frac{\hat\beta_j-0}{ee(\hat\beta_j)}$$

Regla práctica: con muestras grandes, $ |t|>1{,}96 $ rechaza $ \beta_j=0 $ al 5%; $ |t|>2{,}58 $ al 1%.
Si la tabla da el coeficiente y el error estándar entre paréntesis, el t es simplemente la división (Otoño 2026: la pauta marcó t ≈ 2,4 para β₃, alternativa C).
Test F: para restricciones conjuntas (varios coeficientes a la vez). $ F=\frac{(SRC_r-SRC_{nr})/q}{SRC_{nr}/(n-k-1)} $.
El R² siempre sube al agregar variables; un R² bajo no significa que el coeficiente esté sesgado.
No significativo no es "cero": puede ser un efecto real medido con poca precisión.

El casoUna tabla con n = 100 reporta β̂₁ = 0,12 con error estándar 0,05 y β̂₂ = 0,30 con error estándar 0,25. Al sacar x₁ y x₂ juntas, la SRC sube de 100 a 120. El modelo completo tiene k = 3.

β̂₁ 0,12 (0,05)
β̂₂ 0,30 (0,25)
SRC 100 → 120
n − k − 1 96

¿t de β̂₁?$ t=\frac{0{,}12}{0{,}05}=2{,}4 $Significativo al 5% (> 1,96), no al 1% (< 2,58).
¿t de β̂₂?$ t=\frac{0{,}30}{0{,}25}=1{,}2 $No significativo, aunque el coeficiente es más grande.
¿F conjunto?$ F=\frac{(120-100)/2}{100/96}=9{,}6 $El crítico al 5% con (2, 96) es cerca de 3,1: se rechaza que ambas sean cero.

Estadístico t frente al crítico del 5%

β̂₁

2,4

Crítico 5%

1,96

β̂₂

1,2

El tamaño del coeficiente no dice si es significativo: hay que dividir por su error.

Lo que se responde: t = β̂/ee y se compara con 1,96 (5%) o 2,58 (1%). Para hipótesis sobre varios coeficientes se usa el F con las sumas de residuos restringida y no restringida.

Problemas del MCO: sesgo, multicolinealidad y varianza

Lo que puede salir mal en una regresión y qué consecuencias tiene. La pregunta que más se repite es el signo del sesgo por variable omitida.

Sesgo por variable omitida

Sirve para predecir si un coeficiente estimado está inflado o subestimado cuando falta una variable relevante. Es la pregunta favorita del Modelo Empírico, y la crítica más común a cualquier estudio que concluye causalidad con una regresión simple.

Si comparas sueldos según años de estudio, parte de la diferencia no es el estudio sino que los que estudian más suelen ser más hábiles. Al dejar la habilidad fuera, la regresión le atribuye al estudio lo que hace la habilidad. El sesgo depende de dos cosas: si la variable omitida afecta a y, y si se mueve junto con x.

$$\text{Verdadero: }y=\beta_0+\beta_1x+\beta_2z+u\qquad\text{Estimado sin }z:\;E[\tilde\beta_1]=\beta_1+\beta_2\,\delta_1$$

β₂ efecto de la omitida sobre y

δ₁ relación entre la omitida y x ($ Cov(x,z)/Var(x) $)

	Corr(x, z) > 0	Corr(x, z) < 0
β₂ > 0	Sesgo positivo (sobrestima)	Sesgo negativo
β₂ < 0	Sesgo negativo	Sesgo positivo

Así lo preguntaron. Otoño 2024: "si existe una variable omitida relevante, el estimador estará subestimando el efecto" (F: el signo depende de las dos correlaciones). Otoño 2026: habilidad positivamente correlacionada con reputación y con salario, omitirla da sesgo positivo en β₁ (alternativa A).

Que un coeficiente no sea significativo no dice nada sobre endogeneidad: si hay sesgo, el estimador está corrido y su significancia no informa (Otoño 2024, 3.2: F).

El casoEl retorno verdadero a un año de escolaridad es 8%. La habilidad sube el salario (β₂ = 0,10 por punto de habilidad) y los más hábiles estudian más: δ₁ = 0,3 puntos de habilidad por año de escolaridad. ¿Qué entrega una regresión sin habilidad?

β₁ verdadero 0,08
β₂ 0,10
δ₁ 0,3

¿Signo del sesgo?$ \beta_2>0,\;\delta_1>0\Rightarrow\text{positivo} $Cuadrante de arriba a la izquierda de la tabla.
¿Tamaño?$ \beta_2\delta_1=0{,}10\cdot0{,}3=0{,}03 $Tres puntos porcentuales de más.
¿Qué se estima?$ E[\tilde\beta_1]=0{,}08+0{,}03=0{,}11 $Se reporta 11% cuando el efecto real es 8%.
¿Y si los hábiles estudiaran menos (δ₁ = −0,3)?$ 0{,}08-0{,}03=0{,}05 $Subestimaría: el signo depende de las dos relaciones.

Retorno a la escolaridad

Estimado sin habilidad

11%

Verdadero

La regresión corta le cobra a la escolaridad lo que hace la habilidad.

Lo que se responde: sesgo = β₂ × δ₁. Su signo es el producto del efecto de la omitida sobre y y de su relación con x. "Siempre subestima" o "siempre sobrestima" son falsas.

Multicolinealidad

Sirve para distinguir la colinealidad perfecta (no se puede estimar) de la alta (se estima, pero con poca precisión). Aparece cada vez que se incluyen variables que se mueven juntas, como metros cuadrados y número de dormitorios de una casa.

Si dos variables se mueven casi siempre juntas, la regresión no logra separar el efecto de cada una: sabe que juntas importan, pero no cuánto aporta cada una. Los coeficientes quedan imprecisos, aunque siguen siendo correctos en promedio. Si se mueven exactamente juntas, el programa ni siquiera puede calcularlos.

Perfecta: una x es combinación lineal exacta de otras (trampa de las dummies: incluir todas las categorías más la constante). No se puede calcular MCO.
Alta: MCO sigue insesgado y MELI, pero las varianzas son grandes (t bajos con F conjunto alto).
Factor de inflación de varianza: $ VIF_j=\frac{1}{1-R_j^2} $. Sobre 10 se considera alto.
Que solo mujeres asistan a un programa no genera multicolinealidad si no todas las mujeres asistieron (Primavera 2024, 3.3: F).

El casoUna regresión de precios de casas incluye metros cuadrados y número de dormitorios, que tienen correlación 0,95. Además, alguien propone agregar dummies para Norte, Centro y Sur junto con la constante.

Corr(m², dormitorios) 0,95
Dummies Norte, Centro, Sur

¿R²ⱼ de m² sobre dormitorios?$ R_j^2=0{,}95^2=0{,}9025 $En regresión simple, R² es la correlación al cuadrado.
¿Cuánto se infla la varianza?$ VIF=\frac{1}{1-0{,}9025}\approx10{,}3 $El error estándar se multiplica por √10,3 ≈ 3,2.
¿Y las tres dummies con constante?$ N+C+S=1=\text{constante} $Colinealidad perfecta: no se puede estimar.
¿Solución?$ \text{omitir una región (base)} $Los coeficientes de las otras se leen respecto a la base.

Cuántas veces se multiplica la varianza (VIF)

R²ⱼ = 0

R²ⱼ = 0,5

R²ⱼ = 0,9

R²ⱼ = 0,99

100

La varianza explota cuando R²ⱼ se acerca a 1.

Lo que se responde: la multicolinealidad alta no sesga, solo agranda las varianzas. La perfecta impide estimar, y la trampa de las dummies se evita omitiendo una categoría.

Heterocedasticidad y autocorrelación

Sirve para corregir los errores estándar cuando la varianza del error no es constante o los errores están correlacionados. Sin esa corrección se pueden reportar como significativos efectos que no lo son.

Si el gasto de las familias ricas varía mucho más que el de las pobres, el error no tiene la misma dispersión para todos. El coeficiente sigue estando bien en promedio, pero el programa calcula mal cuánto confiar en él. La solución más simple es pedirle errores estándar robustos.

Heterocedasticidad: $ Var(u|X) $ depende de X (ej.: el gasto de los ricos varía más). MCO sigue insesgado, pero los errores estándar habituales están mal. Detección: test de Breusch-Pagan o White. Corrección: errores robustos (White) o MCG/MCP si se conoce la forma.
Autocorrelación (series de tiempo): $ Cov(u_t,u_{t-1})\ne0 $. Detección: Durbin-Watson, Breusch-Godfrey. Corrección: errores Newey-West o MCG factible (Cochrane-Orcutt).
Errores agrupados (clusters): en datos de estados, colegios o comunas, los errores se correlacionan dentro del grupo. Se corrigen con errores estándar agrupados por cluster.
MCG: transforma el modelo para que el error cumpla los supuestos; es MELI cuando se conoce la estructura de la varianza.

El casoUna regresión de gasto en educación contra ingreso familiar entrega β̂ = 0,5 con error estándar clásico 0,2. El test de Breusch-Pagan rechaza homocedasticidad, y con errores robustos el error estándar es 0,3.

β̂ 0,5
ee clásico 0,2
ee robusto 0,3

¿Cambia el coeficiente?$ \hat\beta=0{,}5\text{ en ambos casos} $La heterocedasticidad no sesga.
¿t con error clásico?$ t=\frac{0{,}5}{0{,}2}=2{,}5 $Parecería significativo al 5%.
¿t con error robusto?$ t=\frac{0{,}5}{0{,}3}\approx1{,}67 $No significativo al 5%: el error clásico era demasiado optimista.

Estadístico t

Error clásico (mal)

2,5

Crítico 5%

1,96

Error robusto

1,67

La conclusión cambia sin que cambie el coeficiente.

Lo que se responde: heterocedasticidad y autocorrelación no sesgan β̂, pero invalidan los errores estándar habituales. Se corrige con errores robustos, Newey-West o por cluster.

Error de medición y sesgo de selección

Sirve para saber cuándo una variable mal medida o una muestra mal elegida distorsionan el resultado. Es clave al evaluar encuestas como la CASEN, donde el ingreso se reporta con error, o estudios que solo miran a quienes trabajan.

Si la variable que explica está medida con ruido, la regresión ve una relación más débil de lo que es: el coeficiente se acerca a cero. Si el ruido está en la variable que se explica, solo pierdes precisión. Y si la muestra se eligió por algo relacionado con el resultado, comparas grupos que no son comparables.

Error en la variable dependiente: aumenta la varianza, no sesga (si el error es aleatorio).
Error en una variable explicativa (clásico): sesgo de atenuación hacia cero.
Sesgo de selección: la muestra o el tratamiento dependen de algo relacionado con y. Ejemplo del examen: graficar horas de estudio contra nota y concluir que estudiar mucho es malo ignora que estudian más los que más lo necesitan (Primavera 2022, 1.4: F).
Corrección de Heckman: cuando y solo se observa para quienes cumplen una regla (salario solo de los que trabajan). Requiere al menos una variable que afecte la selección pero no el resultado.

$$\text{Atenuación: }\operatorname{plim}\hat\beta_1=\beta_1\cdot\frac{Var(x^*)}{Var(x^*)+Var(e)}$$

El casoEl efecto verdadero del ingreso sobre el ahorro es 1. El ingreso verdadero tiene varianza 4, pero en la encuesta se reporta con un error aleatorio de varianza 1.

β verdadero 1
Var(x*) 4
Var(error) 1

¿Qué fracción de la variación medida es real?$ \frac{4}{4+1}=0{,}8 $La razón de confiabilidad.
¿A qué converge el estimador?$ 1\cdot0{,}8=0{,}8 $Subestima el efecto en 20%.
¿Y si el error estuviera en el ahorro?$ \operatorname{plim}\hat\beta=1 $Sin sesgo; solo errores estándar más grandes.

Coeficiente estimado (muestra grande)

Error en y

1,0

Error en x

0,8

El ruido en la explicativa empuja el coeficiente hacia cero.

Lo que se responde: error de medición clásico en x genera sesgo de atenuación; en y, solo menos precisión. La selección muestral sesga cuando la regla de selección se relaciona con y.

Máxima verosimilitud

Sirve para estimar modelos donde MCO no corresponde, como probit, logit o modelos de duración, eligiendo los parámetros que mejor explican los datos observados. Es el método detrás de casi todos los modelos de elección discreta.

Pregúntate: ¿con qué valor del parámetro sería más probable haber visto exactamente estos datos? Si de 10 personas 7 compraron, la probabilidad de compra que hace más probable ese resultado es 0,7. Máxima verosimilitud busca ese valor para cualquier modelo.

Elige los parámetros que hacen más probable la muestra observada: $ \max_\theta\sum_i\ln f(y_i|x_i;\theta) $.
Consistente, asintóticamente normal y eficiente. En el modelo lineal con errores normales coincide con MCO para β.
Es el método para probit y logit (pestaña Variables binarias y panel).
Test de razón de verosimilitud: $ LR=2(\ln L_{nr}-\ln L_r) $, se compara con una chi-cuadrado.

El casoDe 10 clientes a los que se les ofreció una tarjeta, 7 la contrataron. Cada cliente contrata con probabilidad p, independiente de los demás. Estima p por máxima verosimilitud.

Contratan 7
No contratan 3

¿Verosimilitud?$ L(p)=p^7(1-p)^3 $Probabilidad de observar exactamente esta muestra.
¿Log-verosimilitud?$ \ln L=7\ln p+3\ln(1-p) $Más fácil de derivar.
¿Condición de primer orden?$ \frac{7}{p}-\frac{3}{1-p}=0\Rightarrow\hat p=0{,}7 $La proporción de la muestra.

p	ln L
0,5	−6,93
0,6	−6,32
0,7	−6,11
0,8	−6,39

Lo que se responde: el estimador de máxima verosimilitud maximiza la probabilidad de la muestra observada. En casos simples coincide con lo intuitivo (la proporción); en probit y logit se resuelve numéricamente.

Causalidad: variables instrumentales, diferencias en diferencias y regresión discontinua

El Modelo Empírico de los últimos años siempre es un paper que identifica un efecto causal. Lo que preguntan es qué diseño usa, qué supuesto necesita y cómo se valida.

El problema: endogeneidad

Sirve para reconocer cuándo una correlación no es causalidad, antes de concluir que una política funcionó o falló. Es la pregunta que hay que hacerle a cualquier estudio que dice "los que hacen X tienen mejor Y".

Las comunas con más carabineros tienen más delitos. ¿Los carabineros causan delitos? No: se mandan más carabineros donde hay más delitos. Cuando la variable que explicas también depende del resultado, o de algo que no mediste, la regresión mezcla causas. Eso es endogeneidad.

Hay endogeneidad cuando $ Cov(x,u)\neq0 $. Tres fuentes: variable omitida, error de medición en x y simultaneidad (x afecta a y e y afecta a x, como precio y cantidad).
Ecuaciones simultáneas: oferta y demanda se determinan juntas; regresar cantidad en precio no da ni la oferta ni la demanda. Hace falta una variable que mueva solo una de las curvas.

El casoEn dos comunas, A tiene 50 carabineros y 80 delitos al mes; B tiene 20 carabineros y 40 delitos. Un ministerio concluye que "cada carabinero extra se asocia con 1,33 delitos más". Más tarde, un sorteo asigna 10 carabineros extra a comunas al azar y los delitos caen 5 donde llegaron.

A 50 carabineros, 80 delitos
B 20 carabineros, 40 delitos
Sorteo +10 carabineros, −5 delitos

¿Pendiente ingenua?$ \frac{80-40}{50-20}=+1{,}33 $Una correlación positiva.
¿Por qué está sesgada?$ \text{delitos}\to\text{carabineros} $Simultaneidad: la asignación responde al crimen.
¿Efecto con el sorteo?$ \frac{-5}{10}=-0{,}5 $Asignación ajena al crimen: el efecto causal es negativo.

Delitos por carabinero extra

Correlación ingenua

+1,33

Efecto causal (sorteo)

−0,5

Hasta el signo cambia cuando se corrige la endogeneidad.

Lo que se responde: si x responde a y, o ambos dependen de algo omitido, MCO no mide el efecto causal. Hace falta una fuente de variación de x que no dependa del resultado.

Variables instrumentales (VI) y MC2E

Sirve para estimar un efecto causal usando solo la parte de x que viene de una fuente "limpia" (el instrumento). Se usa para estimar el retorno a la educación, el efecto de las instituciones en el desarrollo o la elasticidad de una demanda.

Buscas algo que mueva x pero no toque y por ningún otro camino. Por ejemplo, vivir cerca de una universidad hace que la gente estudie más, pero no debería cambiar su sueldo por otra vía. Usando solo la variación del estudio que viene de esa cercanía, comparas como si fuera un experimento.

$$\text{Relevancia: }Cov(z,x)\neq0\qquad\text{Exogeneidad: }Cov(z,u)=0\qquad\hat\beta_{VI}=\frac{\widehat{Cov}(z,y)}{\widehat{Cov}(z,x)}$$

MC2E: en la primera etapa se regresa x en z (y los controles); en la segunda se regresa y en el x predicho.
La relevancia se prueba (F de primera etapa mayor que 10); la exogeneidad no se puede probar con un solo instrumento, se argumenta.
Un buen instrumento corrige a la vez variable omitida y error de medición en x (Otoño 2024, 3.3: V).
Instrumento débil: sesgo hacia MCO y errores estándar enormes.
Ejemplo del examen: Acemoglu, Johnson y Robinson (2001) instrumentan la calidad de las instituciones con la mortalidad de los colonizadores (Modelo Empírico, Otoño 2025).

El casoSe quiere el retorno a la escolaridad. Quienes crecieron cerca de una universidad (z = 1) tienen en promedio 13,0 años de escolaridad y ln(salario) 2,45; los que crecieron lejos (z = 0), 12,5 años y 2,40.

Cerca 13,0 años · 2,45
Lejos 12,5 años · 2,40

¿Primera etapa?$ 13{,}0-12{,}5=0{,}5\text{ años} $La cercanía mueve la escolaridad: el instrumento es relevante.
¿Forma reducida?$ 2{,}45-2{,}40=0{,}05 $Efecto de la cercanía sobre el salario.
¿Estimador de Wald?$ \hat\beta_{VI}=\frac{0{,}05}{0{,}5}=0{,}10 $Cada año de escolaridad sube el salario aprox. 10%.
¿Qué hay que defender?$ Cov(z,u)=0 $Que vivir cerca de una universidad no afecte el salario por otra vía (por ejemplo, ciudades con mejores empleos).

Grupo	Escolaridad	ln(salario)
Cerca (z = 1)	13,0	2,45
Lejos (z = 0)	12,5	2,40
Diferencia	0,5	0,05

Lo que se responde: el estimador VI divide el efecto del instrumento sobre y por su efecto sobre x. La relevancia se prueba con la primera etapa; la exogeneidad se argumenta.

Diferencias en diferencias (DiD)

Sirve para estimar el efecto de una política que afecta a un grupo y no a otro, comparando el cambio antes y después en ambos. Es el diseño de casi toda evaluación de políticas regionales: alzas de salario mínimo, subsidios por comuna, leyes que entran en vigencia en una zona.

Comparar antes y después confunde la política con todo lo que cambió en ese tiempo. Comparar tratados y no tratados confunde la política con lo que ya los diferenciaba. DiD hace las dos cosas: al cambio de los tratados le resta el cambio de los no tratados, que muestra qué habría pasado sin la política.

$$y_{it}=\beta_0+\beta_1Trat_i+\beta_2Post_t+\beta_3(Trat_i\times Post_t)+u_{it}$$

$ \beta_3 $ es el efecto: el cambio en el grupo tratado menos el cambio en el grupo control.
Supuesto clave: tendencias paralelas. Sin la política, ambos grupos habrían evolucionado igual. Se mira con las tendencias previas (gráfico antes del tratamiento).
Para ver efectos por período (trimestre a trimestre) se interactúa el tratamiento con dummies de cada período (Otoño 2023, Modelo 2).
La introducción gradual de una política entre programas o regiones es un DiD con adopción escalonada (Otoño 2026: el examen de egreso en Colombia).

Así lo preguntaron · Otoño 2023, Modelo 2. El alza del salario mínimo de México en 2012 en la Zona B: el coeficiente ZonaB × D2013 = 0,0020*** en el log del salario por hora indica un alza de 0,2% para todos los trabajadores formales de la zona, y ningún efecto en quienes ganan menos de tres veces el mínimo. La pauta esperaba notar que uno anticiparía un efecto mayor justamente en ese grupo.

El casoUna región aplica un subsidio a la contratación de jóvenes. Antes del subsidio, el empleo juvenil era 14% en esa región y 10% en una región parecida que no lo aplicó. Un año después, 19% y 12%.

Tratada 14% → 19%
Control 10% → 12%

¿Cambio en la tratada?$ 19-14=5 $Mezcla el subsidio con la mejora general de la economía.
¿Cambio en el control?$ 12-10=2 $Lo que habría pasado sin subsidio, si las tendencias son paralelas.
¿Efecto?$ \beta_3=5-2=3\text{ puntos} $El subsidio subió el empleo juvenil en 3 puntos porcentuales.
¿Cómo se valida?$ \text{tendencias antes del subsidio} $Si en los años previos ambas regiones subían igual, el supuesto es creíble.

	Antes	Después	Cambio
Tratada	14	19	+5
Control	10	12	+2
Diferencia	4	7	+3

Lo que se responde: el coeficiente de la interacción Trat × Post es la diferencia de las diferencias. Su supuesto son tendencias paralelas, que se revisan con los períodos anteriores al tratamiento.

Regresión discontinua (RDD)

Sirve cuando el tratamiento se asigna según un umbral de una variable (población, puntaje, edad): se comparan unidades justo arriba y justo abajo del corte. Es el diseño natural para evaluar becas por puntaje PAES, beneficios por tramo del Registro Social de Hogares o reglas por tamaño de comuna.

Si una beca se da con 600 puntos o más, quien sacó 601 y quien sacó 599 son prácticamente iguales: la única diferencia es la beca. Por eso el salto en el resultado justo en el corte mide el efecto de la beca, aunque los de 750 y los de 450 sean muy distintos.

$$Y_i=\alpha+\beta_1D_i+\beta_2X_i+\beta_3(D_i\times X_i)+\varepsilon_i,\qquad D_i=\mathbb 1[X_i\ge c]$$

$ \beta_1 $ es el salto en el umbral: el efecto causal local.
Supuesto: continuidad. Sin tratamiento, el resultado no saltaría en el corte; nadie puede manipular su posición respecto al umbral.
Validación: (1) que variables predeterminadas (fijadas antes del tratamiento) no salten en el corte, (2) que no haya amontonamiento de observaciones justo sobre el umbral, (3) que no haya otras políticas en el mismo umbral.
Comparar todos los distritos sobre y bajo el umbral con MCO, sin restringirse al entorno del corte, confunde el efecto con otras diferencias entre distritos grandes y chicos (Primavera 2026, pregunta 1: alternativa C).

Así lo preguntaron · Primavera 2026, Modelo 2. Topes al gasto electoral en Francia sobre 9.000 habitantes. El gráfico de "el desafiante ganó la elección anterior" sirve para corroborar que un resultado predeterminado no salta en el corte (C). El coeficiente de tratamiento −0,145 en "gana el incumbente" significa 14,5 puntos porcentuales menos de probabilidad (A). Conclusión: el financiamiento público altera causalmente tanto quién compite como quién gana (B).

El casoUna beca se entrega a quienes sacan 600 puntos o más. Entre quienes sacaron justo bajo 600, el 45% entra a la universidad; justo sobre 600, el 60%. En el corte, la proporción de mujeres es 52% a ambos lados.

Corte 600 puntos
Justo bajo 45%
Justo sobre 60%

¿Efecto de la beca?$ \beta_1=60\%-45\%=15\text{ puntos} $El salto en el corte.
¿Para quién vale?$ \text{estudiantes cerca de 600} $Es un efecto local: no dice cuánto ayuda a alguien con 450.
¿Prueba de una predeterminada?$ 52\%=52\% $La composición no salta: los grupos son comparables.
¿Qué amenaza habría?$ \text{amontonamiento en 600-605} $Si se pudiera recorregir el puntaje para pasar el corte, la comparación se rompe.

Entran a la universidad

Justo sobre 600

60%

Justo bajo 600

45%

El salto en el corte es el efecto causal local de la beca.

Lo que se responde: β₁ es el salto en el umbral. Se valida mostrando que las variables predeterminadas no saltan y que no hay manipulación del puntaje.

Experimentos

Sirve para medir un efecto causal sin supuestos de identificación difíciles: el sorteo hace comparables a los grupos. Es la vara contra la que se comparan los demás diseños, y se usa en programas sociales, educación y marketing.

Si se sortea quién recibe un programa, los que lo reciben y los que no son iguales en todo lo demás, en promedio. La diferencia de resultados es el efecto del programa. El problema aparece cuando no todos los sorteados lo toman: ahí la diferencia hay que reescalarla por cuántos efectivamente participaron.

Con asignación aleatoria el tratamiento es independiente de todo lo demás: la diferencia de promedios es el efecto causal.
Problemas: cumplimiento imperfecto (se usa la asignación como instrumento: efecto de intención de tratar), deserción, efectos de derrame.
ITT (intención de tratar): diferencia entre asignados y no asignados. LATE: ITT dividido por la diferencia en la tasa de participación.

El casoSe sortea un programa de tutorías: 1.000 estudiantes quedan asignados y 1.000 no. Solo el 60% de los asignados asiste; ningún no asignado puede asistir. Los asignados sacan en promedio 3 puntos más en la prueba.

Asisten 60% de asignados
Diferencia de puntaje 3

¿Intención de tratar?$ ITT=3 $Efecto de ofrecer el programa.
¿Diferencia en asistencia?$ 0{,}6-0=0{,}6 $La primera etapa, con la asignación como instrumento.
¿Efecto de asistir?$ LATE=\frac{3}{0{,}6}=5 $Para quienes asisten porque se les ofreció.
¿Por qué no comparar asistentes con no asistentes?$ \text{autoselección} $Los que eligen asistir pueden ser más motivados: volvería el sesgo.

Puntos en la prueba

LATE: asistir

ITT: ser asignado

El ITT se diluye porque 40% de los asignados no asistió.

Lo que se responde: con sorteo, la diferencia de promedios es causal. Con cumplimiento imperfecto se reporta el ITT y se recupera el efecto de participar dividiendo por la tasa de cumplimiento.

Variables binarias, censuradas, datos de panel y series de tiempo

Econometría II. Aparece cuando la variable a explicar es 0 o 1 (empleado o no), cuando tiene muchos ceros o solo se observa para algunos (horas trabajadas, salario de quienes trabajan), cuando hay datos de las mismas unidades en varios años, o en preguntas de series de tiempo. La notación sigue a Métodos Cuantitativos II (Sagner).

Variables dummy como explicativas

Sirve para incluir características que no son números, como región, sexo o tramo de ingreso, y comparar grupos manteniendo lo demás constante. Es como se mide, por ejemplo, la brecha salarial entre regiones o entre hombres y mujeres.

Una dummy vale 1 si la persona pertenece al grupo y 0 si no. Su coeficiente es cuánto más (o menos) tiene ese grupo que el grupo base, con todo lo demás igual. Por eso siempre hay que dejar una categoría fuera: es la referencia con la que se compara.

Con m categorías se incluyen m − 1 dummies (la omitida es la categoría base). Incluir todas con constante es colinealidad perfecta.
Cada coeficiente es la diferencia promedio con la categoría base, manteniendo el resto constante.
Quintiles de ingreso: cuatro dummies y el quintil 1 como base. Interacciones con sexo permiten que la brecha cambie con otra variable (Primavera 2022, pregunta 3).

El casoUna regresión entrega $ \ln w=2{,}00+0{,}10\,Centro+0{,}25\,Norte+\dots $, con Sur como base. ¿Cuánto más gana alguien del Norte que alguien del Sur y que alguien del Centro?

Base Sur
Centro 0,10
Norte 0,25

¿Norte respecto a Sur?$ \approx25\%\;\;(\text{exacto }100(e^{0{,}25}-1)=28{,}4\%) $El coeficiente compara con la base.
¿Centro respecto a Sur?$ \approx10\% $Exacto: 10,5%.
¿Norte respecto a Centro?$ 0{,}25-0{,}10=0{,}15\Rightarrow\approx15\% $Se restan los coeficientes: los dos están medidos contra el Sur.
¿Y si se agrega también la dummy Sur?$ Sur+Centro+Norte=1 $Colinealidad perfecta con la constante: no se puede estimar.

ln(salario) predicho por región

Sur (base)

2,00

Centro

2,10

Norte

2,25

Cada coeficiente es la distancia a la categoría base.

Lo que se responde: el coeficiente de una dummy es la diferencia con la base. Para comparar dos categorías no base, se restan sus coeficientes.

Variable dependiente binaria: MPL, probit y logit

Sirve para modelar la probabilidad de un evento: estar empleado, votar, asistir a clases, pagar un crédito. Es lo que usa un banco para decidir a quién prestar y un ministerio para estimar quién entra a un programa.

Cuando el resultado es sí o no, lo que se modela es la probabilidad del sí. Una recta puede dar probabilidades mayores que 1 o negativas; probit y logit usan una curva en forma de S que siempre queda entre 0 y 1. La consecuencia es que el efecto de una variable cambia según dónde está la persona en la curva.

$$\text{MPL: }P(y=1|x)=x\beta\qquad\text{Probit/Logit: }P(y=1|x)=F(x\beta)$$

Modelo de probabilidad lineal: fácil de interpretar (β = cambio en la probabilidad), pero puede predecir probabilidades fuera de [0,1] y es heterocedástico por construcción.
Probit (F normal) y logit (F logística): se estiman por máxima verosimilitud. Los coeficientes no son efectos marginales.

$$\frac{\partial P(y=1)}{\partial x_j}=f(x\beta)\,\beta_j$$

Así lo preguntaron · Primavera 2024. "Si estima un probit para empleo, el efecto marginal de la capacitación dependerá también del género del trabajador" fue V: el efecto marginal $ f(x\beta)\beta_1 $ depende de todas las variables, género incluido.

El casoUn logit para la probabilidad de estar empleado entrega $ x\beta=-4+0{,}5\cdot\text{años de escolaridad} $. ¿Cuál es el efecto de un año más de escolaridad para alguien con 8 años y para alguien con 12?

Índice −4 + 0,5·S
Logit Λ(z) = eᶻ/(1 + eᶻ)

¿Probabilidad con 8 años?$ z=0\Rightarrow P=0{,}5 $En el centro de la S.
¿Efecto marginal con 8 años?$ \Lambda(1-\Lambda)\beta=0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}125 $Un año más sube la probabilidad en 12,5 puntos.
¿Con 12 años?$ z=2\Rightarrow P=0{,}88,\;0{,}88\cdot0{,}12\cdot0{,}5\approx0{,}053 $El efecto cae a 5,3 puntos: ya es muy probable que esté empleado.

Efecto de un año más de escolaridad (puntos porcentuales)

Con 8 años

12,5

Con 12 años

5,3

El mismo coeficiente da efectos marginales distintos.

Lo que se responde: en probit y logit el coeficiente no es el efecto marginal; este es f(xβ)·β y depende de los valores de todas las variables.

Variable truncada o censurada: Tobit y Heckman

Sirve cuando la variable a explicar se observa solo para una parte de la muestra o se amontona en un valor: horas trabajadas con muchos ceros, salarios que solo existen para quien trabaja, ingresos topados en la encuesta. Es el problema central de la oferta laboral empírica en Micro III.

Si quieres saber cuánto paga estudiar a las mujeres, solo ves el sueldo de las que trabajan, y las que trabajan no son una muestra al azar: es como juzgar un curso mirando solo a los que se presentaron al examen. MCO con esa muestra está sesgado. Tobit corrige cuando la variable se amontona en cero; Heckman, cuando no se observa para los que no fueron elegidos.

Situación	Qué pasa con la muestra	Ejemplo	Se estima con
Truncada	Las observaciones fuera del rango no están	Encuesta solo a hogares con ingreso bajo $1.000.000	Regresión truncada por MV
Censurada	Están todas, pero el valor se reemplaza por el tope	Horas = 0 para quien no trabaja; ingresos sobre $5.000.000 reportados como 5.000.000	Tobit por MV
Selección	y se observa solo si otra decisión es positiva	Salario solo de quienes trabajan	Heckman en dos etapas

$$\text{Tobit: }y_t^*=\beta'X_t+u_t,\qquad y_t=\begin{cases}0 & y_t^*\le0\\ y_t^* & y_t^*>0\end{cases}$$

MCO es inconsistente en los tres casos. En la muestra truncada $ E[y_t|y_t>b]=\beta'X_t+\sigma\lambda(\alpha_t) $: regresar solo sobre X omite $ \lambda(\alpha_t) $, el inverso del ratio de Mills, y es un sesgo por variable omitida.
En la submuestra el efecto marginal es $ \beta[1-\delta(\alpha_t)] $, menor que β, con $ 0<\delta<1 $. β describe a la población; el efecto marginal, a los que quedaron en la muestra.
Tobit (Tobin, 1958): la verosimilitud tiene una parte tipo probit para los ceros y una parte tipo MCO para los positivos. A diferencia del probit, σ sí se identifica.
Heckman (1979), como lo ve Contreras: ecuación principal $ Y_{1i}=X_{1i}\beta_1+u_{1i} $ (salario u horas) y ecuación de selección $ Y_{2i}=w_i-w_i^R=X_{2i}\beta_2+u_{2i} $: se observa $ Y_{1i} $ solo si $ Y_{2i}>0 $.
Primera etapa: probit de participación con toda la muestra y cálculo de $ \hat\lambda_i $. Segunda etapa: MCO de la ecuación principal en la submuestra, agregando $ \hat\lambda_i $: $ Y_{1i}=X_{1i}\beta_1+\gamma\hat\lambda_i+\epsilon_i $, con $ \gamma=\sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{22}} $.
Si $ \hat\gamma $ no es significativo, no hay sesgo de selección ($ \sigma_{12}=0 $). Dos exigencias: errores normales y al menos una variable de exclusión, que afecta la decisión de trabajar pero no el salario (hijos pequeños, ingreso no laboral).

El casoSe estima el retorno a la educación de las mujeres con la CASEN. Solo el 60% trabaja, así que el salario existe solo para ellas. MCO en esa submuestra da 0,08 por año de estudio. Con Heckman, la primera etapa es un probit de participación que incluye el número de hijos menores de 6 años, y la segunda da $ \ln w=0{,}9+0{,}10\,educ+0{,}20\,\hat\lambda $ con error estándar 0,08 para λ̂. (Números ilustrativos.)

Trabajan 60%
MCO submuestra 0,08
Heckman 0,10
γ̂ 0,20 (ee 0,08)

¿Por qué falla MCO en la submuestra?$ E[u_1|\text{trabaja}]=\gamma\lambda_i\ne0 $Las que trabajan tienen no observables distintos (motivación, habilidad): se omite λ.
¿Qué papel cumplen los hijos menores de 6?$ \text{variable de exclusión} $Cambian la decisión de trabajar, pero no la productividad ni el salario por hora. Sin ella, λ̂ es casi colineal con X.
¿Hay sesgo de selección?$ t=0{,}20/0{,}08=2{,}5>1{,}96 $Se rechaza γ = 0: hay selección positiva, las que trabajan ganarían más que el promedio.
¿Por qué MCO daba menos?$ \text{sesgo}=\gamma\cdot\delta,\ \gamma>0,\ \delta<0 $Más educación sube la probabilidad de trabajar y baja λ: la omitida se correlaciona negativo con educ y el sesgo es negativo.

Retorno a un año de educación

Heckman

10%

MCO solo con las que trabajan

Corregir la selección cambia la conclusión sobre cuánto paga estudiar.

Lo que se responde: si y solo se observa para un grupo elegido, MCO omite el inverso del ratio de Mills. Heckman lo estima con un probit y lo agrega; si γ̂ es significativo, había sesgo de selección. Con muchos ceros en y se usa Tobit.

Datos de panel

Sirve para controlar por características no observadas que no cambian en el tiempo, como la habilidad de una persona, la cultura de una región o la gestión de una empresa. Permite estudios mucho más creíbles que un corte transversal.

Si sigues a las mismas empresas varios años, puedes comparar a cada empresa consigo misma. Lo que la hace especial y no cambia (su gerente, su ubicación) se cancela, aunque no lo puedas medir. Solo queda la variación dentro de cada empresa en el tiempo.

$$y_{it}=\beta x_{it}+a_i+u_{it}$$

Efectos fijos: elimina $ a_i $ restando el promedio de cada unidad (o con dummies por unidad). Consistente aunque $ a_i $ esté correlacionado con x. No permite estimar efectos de variables que no cambian en el tiempo.
Primeras diferencias: también elimina $ a_i $.
Efectos aleatorios: más eficiente, pero exige que $ a_i $ no esté correlacionado con x. El test de Hausman compara ambos.
Efectos fijos de año controlan shocks comunes a todas las unidades.
Notación de Sagner: $ y_{it}=\alpha+X_{it}'\beta+u_{it} $, $ u_{it}=\mu_i+v_{it} $. Efectos fijos: $ \mu_i $ es un parámetro (estimador within o LSDV, con test F de que todos los $ \mu_i $ son cero). Efectos aleatorios: $ \mu_i\sim iid(0,\sigma^2_\mu) $ independiente de X, se estima por MCG y queda entre el within y el between. Con efecto de año es el modelo de dos componentes, $ u_{it}=\mu_i+\delta_t+v_{it} $ (pestaña Econometría en el examen de Macro).

El casoTres empresas, observadas dos años, reportan precio (x) y ventas (y): A (1, 5) y (2, 4); B (3, 8) y (4, 7); C (5, 11) y (6, 10). Las empresas más grandes cobran más y venden más.

A (1, 5) (2, 4)
B (3, 8) (4, 7)
C (5, 11) (6, 10)

¿MCO agrupado?$ \hat\beta=\frac{22{,}5}{17{,}5}\approx+1{,}29 $"Subir el precio aumenta las ventas": absurdo.
¿Qué se omite?$ a_i=\text{tamaño de la empresa} $Las grandes cobran más y venden más por ser grandes.
¿Efectos fijos (dentro de cada empresa)?$ \frac{4-5}{2-1}=\frac{7-8}{4-3}=\frac{10-11}{6-5}=-1 $Cuando cada empresa sube su precio en 1, vende 1 menos.

Estimador	Pendiente	Usa
MCO agrupado	+1,29	diferencias entre empresas
Efectos fijos	−1	cambios dentro de cada empresa

Lo que se responde: efectos fijos elimina lo que no cambia en el tiempo dentro de cada unidad y es consistente aunque eso esté correlacionado con x. A cambio, no puede estimar el efecto de variables fijas.

Series de tiempo

Sirve para datos de una misma unidad en el tiempo (PIB, inflación, tasas). Aparece en los modelos empíricos de Macro (regla de Taylor, curvas de rendimiento) y es lo que usa el Banco Central para proyectar.

Con datos en el tiempo, lo de hoy depende de lo de ayer. Si una serie no vuelve a un nivel promedio (como el PIB o el precio de una acción), dos series así pueden parecer relacionadas solo porque ambas suben. Y el efecto de una variable puede tardar: hay un efecto inmediato y otro acumulado en el largo plazo.

Estacionariedad: media y varianza constantes. Un paseo aleatorio $ y_t=y_{t-1}+e_t $ no es estacionario (raíz unitaria).
Regresión espuria: dos series no estacionarias pueden mostrar R² alto y t significativos sin relación real. Se resuelve diferenciando o verificando cointegración.
Test de Dickey-Fuller: para raíz unitaria.
Cointegración: dos series con raíz unitaria cuya combinación lineal es estacionaria tienen una relación de largo plazo (modelo de corrección de errores).
AR(p) y VAR: cada variable depende de sus rezagos y de los de las demás. Sirven para pronóstico y funciones de impulso-respuesta.
Dickey-Fuller, cointegración y VAR, con ejemplos de examen, están desarrollados en la pestaña Econometría en el examen de Macro.
Modelos dinámicos: con rezagos de x, el efecto de corto plazo es el coeficiente del período y el de largo plazo la suma de coeficientes (ajustada por la persistencia de y).

El casoUn modelo de consumo estima $ c_t=0{,}5\,c_{t-1}+0{,}2\,y_t+0{,}1\,y_{t-1}+u_t $. Si el ingreso sube 1 de forma permanente, ¿cuánto sube el consumo de inmediato y en el largo plazo?

Persistencia 0,5
Efecto inmediato 0,2
Rezago de y 0,1

¿Efecto de corto plazo?$ 0{,}2 $El coeficiente del ingreso del mismo período.
¿Segundo período?$ 0{,}5\cdot0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}4 $Suma el arrastre del consumo pasado y el rezago del ingreso.
¿Largo plazo?$ \frac{0{,}2+0{,}1}{1-0{,}5}=0{,}6 $En el estado estacionario $ c=0{,}5c+0{,}3y $.

Aumento acumulado del consumo

Período 1

0,2

Período 2

0,4

Período 3

0,5

Largo plazo

0,6

El efecto se acerca a 0,6 de a poco por la persistencia.

Lo que se responde: en un modelo dinámico el efecto de corto plazo es el coeficiente contemporáneo y el de largo plazo, la suma de coeficientes de x dividida por uno menos la persistencia.

✍️ El ensayo de Microeconomía

30 minutos, un tema a elegir entre dos, máximo 3.000 caracteres (unas 600 palabras). Siempre es un problema de actualidad chilena que hay que analizar con herramientas de micro, y el enunciado dice qué puntos tienes que cubrir.

Cómo lo corrigen

La pauta reparte el puntaje por cada punto que pide el enunciado (i, ii, iii, iv), casi siempre en partes iguales, y a veces agrega un par de puntos por claridad. Un ensayo brillante que se salta un punto pierde ese porcentaje entero.

Responde cada punto en su propio párrafo, en el mismo orden del enunciado. El corrector busca cada uno.
Nombra el concepto técnico: "externalidad negativa", "bien no rival y no excluible", "selección adversa", "incidencia del impuesto", "estrategia gatillo". La pauta da puntaje por identificarlo.
Usa el dato del enunciado: si dan una tabla o una cifra (80% de participación de mercado, 500 km de ciclovías), menciónala. Muestra que conectas la teoría con el caso.
Cierra con política: qué instrumento propones y por qué, con su costo o su limitación.

Esqueleto que funciona

1 · Encuadre2 líneas: qué problema económico hay detrás

→

2 · Punto iconcepto + mecanismo + dato del caso

→

3 · Puntos ii, iii…uno por párrafo

→

4 · Cierrerecomendación y su principal riesgo

El límite de 3.000 caracteres es duro. Con cuatro puntos son unos 650 caracteres por punto: dos o tres oraciones bien escogidas, no una clase completa.

Las herramientas que más se usan

Si el tema es…	Herramienta	Pestaña
Contaminación, incendios, congestión, marejadas	Externalidad, Pigou, Coase, seguros
Ciclovías, parques, infraestructura	Rivalidad y exclusión, provisión pública
Colusión, concentración, regulación de tarifas	Juegos repetidos, monopolio natural
Salario mínimo, jornada, IA y empleo, informalidad	Oferta y demanda de trabajo, ocio-consumo
Pensiones, seguros de salud	Selección adversa, riesgo moral, intertemporal
Impuestos (royalty, inmuebles, verdes)	Incidencia, pérdida de eficiencia
Elecciones, polarización, financiamiento político	Votante mediano, lobbies

Todos los temas que han salido

Los temas de ensayo de cada examen real, del más nuevo al más antiguo. Abre el examen en 🎓 Exámenes Reales para ver el enunciado completo y la pauta.

Σ Formulario de Microeconomía

Lo que conviene tener memorizado para resolver las afirmaciones en un minuto. El examen se rinde sin apuntes.

Consumidor

Resultado	Fórmula
Óptimo interior	$ \frac{UMg_x}{UMg_y}=\frac{p_x}{p_y} $
Cobb-Douglas $ x^{\alpha}y^{\beta} $	$ x=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_x} $, $ y=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_y} $
Leontief $ \min\{ax,by\} $	$ ax=by \Rightarrow x=\frac{bI}{bp_x+ap_y} $
Slutsky	$ \frac{\partial x}{\partial p_x}=\frac{\partial h}{\partial p_x}-x\frac{\partial x}{\partial I} $
Roy / Shephard	$ x=-\frac{V_{p_x}}{V_I} $, $ h=\frac{\partial e}{\partial p_x} $
Elasticidad	$ \varepsilon=\frac{\partial x}{\partial p}\frac{p}{x} $
Ocio-consumo Cobb-Douglas	$ h=\frac{\alpha wT-\beta Y_{NL}}{(\alpha+\beta)w} $, $ w_R=\frac{\beta Y_{NL}}{\alpha T} $
Euler	$ u'(c_0)=\beta(1+r)u'(c_1) $
Aversión al riesgo	$ r_A=-\frac{u''}{u'} $, $ u(EC)=E[u(W)] $

Productor y mercados

Resultado	Fórmula
Costo mínimo	$ \frac{PMg_L}{PMg_K}=\frac{w}{r} $
Rendimientos a escala de $ AK^aL^b $	$ a+b $ (>1 crecientes)
Competencia	$ p=CMg $; largo plazo $ p=\min CMe $
Monopolio	$ IMg=CMg $, $ \frac{P-CMg}{P}=\frac{1}{\|\varepsilon\|} $; lineal $ IMg=a-2bQ $
Incidencia del impuesto (consumidor)	$ \frac{\varepsilon_S}{\varepsilon_S+\|\varepsilon_D\|} $
Pérdida social	$ \frac12\,t\,\Delta Q $
Cournot $ P=a-bQ $, costo c	$ q_i=\frac{a-c}{3b} $, $ Q=\frac{2(a-c)}{3b} $, $ P=\frac{a+2c}{3} $
Cournot costos distintos	$ q_1=\frac{a-2c_1+c_2}{3b} $
Stackelberg	$ q_L=\frac{a-c}{2b} $, $ q_S=\frac{a-c}{4b} $
Bertrand homogéneo	$ P=c $
Colusión con gatillo	$ \delta\ge\frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N} $; Bertrand con n: $ \delta\ge1-\frac1n $

Bienestar y fallas

Resultado	Fórmula
Pareto interior	$ TMS^1=TMS^2 $
Eficiencia global	$ TMS=TMT $
Bien público (Samuelson)	$ \sum TMS_i=TMT $
Externalidad	$ CMgS=CMgP+CMgE $; impuesto pigouviano = $ CMgE $ en el óptimo
Recurso común	Libre acceso $ B(N)/N=c $; óptimo $ B'(N)=c $

Econometría

Resultado	Fórmula
MCO simple	$ \hat\beta_1=\frac{Cov(x,y)}{Var(x)} $
Varianza	$ Var(\hat\beta_j)=\frac{\sigma^2}{STC_j(1-R^2_j)} $
Sesgo por omisión	$ E[\tilde\beta_1]=\beta_1+\beta_2\delta_1 $
Estadístico t	$ t=\hat\beta/ee $; $ \|t\|>1{,}96 $ al 5%
R²	$ 1-\frac{SRC}{STC} $
VI	$ \hat\beta_{VI}=\frac{Cov(z,y)}{Cov(z,x)} $
DiD	$ \beta_3 $ de $ Trat\times Post $
Probit efecto marginal	$ \phi(x\beta)\beta_j $
Log-lin	100·β % por unidad de x

Exámenes de grado reales

Todos los exámenes de Microeconomía del repositorio oficial de la FEN, de 2012 a 2026. Las afirmaciones de verdadero y falso y las preguntas de modelo se marcan y se corrigen como en el examen; los ensayos traen la pauta oficial.

Quiz rápido

Diez preguntas de alternativas.

Mi avance en Microeconomía

Marca del 0 al 5 qué tan preparado te sientes en cada tema. Se guarda en este navegador.

Modelo	Interpretación de β₁
\( y=\beta_0+\beta_1x \)	Si x sube en 1, y sube en β₁ unidades
\( \ln y=\beta_0+\beta_1x \)	Si x sube en 1, y sube aprox. 100·β₁ % (exacto: \( 100(e^{\beta_1}-1) \)%)
\( y=\beta_0+\beta_1\ln x \)	Si x sube 1%, y sube β₁/100 unidades
\( \ln y=\beta_0+\beta_1\ln x \)	Elasticidad: si x sube 1%, y sube β₁ %
Dummy D en \( \ln y \)	El grupo D = 1 tiene y aprox. 100·β₁ % mayor que el grupo base
Con \( x^2 \)	Efecto marginal \( \beta_1+2\beta_2x \): depende del nivel de x

Preferencias	Utilidad	Lo que hay que saber
Cobb-Douglas	\( U=x^{\alpha}y^{\beta} \)	Gasta una fracción fija del ingreso en cada bien: \( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \) en x. La demanda de x no depende de \( p_y \).
Sustitutos perfectos	\( U=ax+by \)	TMS constante. Gasta todo en el bien con mayor utilidad marginal por peso (\( a/p_x \) contra \( b/p_y \)). Solución de esquina.
Complementos perfectos (Leontief)	\( U=\min\{ax,by\} \)	Consume en proporción fija: \( ax=by \). No hay efecto sustitución.
Cuasilineal	\( U=v(x)+y \)	La demanda de x no depende del ingreso (si hay solución interior). El excedente del consumidor mide bien el bienestar.

Medida	Valor	Nombre
Elasticidad precio	\( \|\varepsilon\|>1 \) / \( <1 \) / \( =1 \)	Elástica / inelástica / unitaria
Elasticidad ingreso	\( \eta>1 \) / \( 0<\eta<1 \) / \( \eta<0 \)	Lujo / necesidad / inferior
Elasticidad cruzada	\( >0 \) / \( <0 \)	Sustitutos / complementos brutos

Efecto	Ahorrador (acreedor)	Deudor
Sustitución (el consumo de hoy se encarece)	baja \( c_0 \)	baja \( c_0 \)
Ingreso (los intereses le pagan o le cobran más)	sube \( c_0 \)	baja \( c_0 \)
Total sobre \( c_0 \)	ambiguo	baja

Actitud	Forma de u	Condición
Averso	cóncava (\( u''<0 \))	\( u(E[W])>E[u(W)] \)
Neutral	lineal	\( u(E[W])=E[u(W)] \)
Amante	convexa	\( u(E[W])<E[u(W)] \)

Criterio	Función	Idea
Utilitarista (Bentham, Harsanyi)	\( W=\sum_i U_i \)	Maximizar la suma; indiferente a la distribución
Rawlsiano (maximin)	\( W=\min_i U_i \)	Mejorar al que está peor (velo de ignorancia con aversión extrema al riesgo)
Bergson-Samuelson general	\( W(U_1,\dots,U_n) \)	Cualquier peso intermedio a la equidad

Afirmación	Lo que dice	Veredicto
1.1	Pendiente de la isobeneficio \( \beta p^{\beta-1} \)	V
1.2	Pendiente de la indiferencia −α	F (es α/p)
1.3	Equilibrio con w > 0 y riesgo cero	F
1.4	Salario de equilibrio α/β	V

Resultado	Fórmula
Óptimo interior	\( \frac{UMg_x}{UMg_y}=\frac{p_x}{p_y} \)
Cobb-Douglas \( x^{\alpha}y^{\beta} \)	\( x=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_x} \), \( y=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{I}{p_y} \)
Leontief \( \min\{ax,by\} \)	\( ax=by \Rightarrow x=\frac{bI}{bp_x+ap_y} \)
Slutsky	\( \frac{\partial x}{\partial p_x}=\frac{\partial h}{\partial p_x}-x\frac{\partial x}{\partial I} \)
Roy / Shephard	\( x=-\frac{V_{p_x}}{V_I} \), \( h=\frac{\partial e}{\partial p_x} \)
Elasticidad	\( \varepsilon=\frac{\partial x}{\partial p}\frac{p}{x} \)
Ocio-consumo Cobb-Douglas	\( h=\frac{\alpha wT-\beta Y_{NL}}{(\alpha+\beta)w} \), \( w_R=\frac{\beta Y_{NL}}{\alpha T} \)
Euler	\( u'(c_0)=\beta(1+r)u'(c_1) \)
Aversión al riesgo	\( r_A=-\frac{u''}{u'} \), \( u(EC)=E[u(W)] \)

Resultado	Fórmula
Costo mínimo	\( \frac{PMg_L}{PMg_K}=\frac{w}{r} \)
Rendimientos a escala de \( AK^aL^b \)	\( a+b \) (>1 crecientes)
Competencia	\( p=CMg \); largo plazo \( p=\min CMe \)
Monopolio	\( IMg=CMg \), \( \frac{P-CMg}{P}=\frac{1}{\|\varepsilon\|} \); lineal \( IMg=a-2bQ \)
Incidencia del impuesto (consumidor)	\( \frac{\varepsilon_S}{\varepsilon_S+\|\varepsilon_D\|} \)
Pérdida social	\( \frac12\,t\,\Delta Q \)
Cournot \( P=a-bQ \), costo c	\( q_i=\frac{a-c}{3b} \), \( Q=\frac{2(a-c)}{3b} \), \( P=\frac{a+2c}{3} \)
Cournot costos distintos	\( q_1=\frac{a-2c_1+c_2}{3b} \)
Stackelberg	\( q_L=\frac{a-c}{2b} \), \( q_S=\frac{a-c}{4b} \)
Bertrand homogéneo	\( P=c \)
Colusión con gatillo	\( \delta\ge\frac{\pi^D-\pi^C}{\pi^D-\pi^N} \); Bertrand con n: \( \delta\ge1-\frac1n \)

Resultado	Fórmula
Pareto interior	\( TMS^1=TMS^2 \)
Eficiencia global	\( TMS=TMT \)
Bien público (Samuelson)	\( \sum TMS_i=TMT \)
Externalidad	\( CMgS=CMgP+CMgE \); impuesto pigouviano = \( CMgE \) en el óptimo
Recurso común	Libre acceso \( B(N)/N=c \); óptimo \( B'(N)=c \)

Resultado	Fórmula
MCO simple	\( \hat\beta_1=\frac{Cov(x,y)}{Var(x)} \)
Varianza	\( Var(\hat\beta_j)=\frac{\sigma^2}{STC_j(1-R^2_j)} \)
Sesgo por omisión	\( E[\tilde\beta_1]=\beta_1+\beta_2\delta_1 \)
Estadístico t	\( t=\hat\beta/ee \); \( \|t\|>1{,}96 \) al 5%
R²	\( 1-\frac{SRC}{STC} \)
VI	\( \hat\beta_{VI}=\frac{Cov(z,y)}{Cov(z,x)} \)
DiD	\( \beta_3 \) de \( Trat\times Post \)
Probit efecto marginal	\( \phi(x\beta)\beta_j \)
Log-lin	100·β % por unidad de x